Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán khá thú vị về phương trình bậc ba. Các em hãy chú ý quan sát từng bước thầy trình bày nhé.

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình:

\( (2x-1)^3 – 2x(2x+1)^3 = 5x – 20x^2 \)

Bước 1: Khai triển các biểu thức lập phương và sắp xếp lại phương trình.

Chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức \( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \) và \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).

Khai triển \( (2x-1)^3 \):

\( (2x-1)^3 = (2x)^3 – 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 – 1^3 \)

\( = 8x^3 – 3(4x^2) + 6x – 1 \)

\( = 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 \)

Khai triển \( (2x+1)^3 \):

\( (2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1^3 \)

\( = 8x^3 + 3(4x^2) + 6x + 1 \)

\( = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 \)

Bây giờ, chúng ta thay trở lại phương trình ban đầu:

\( (8x^3 – 12x^2 + 6x – 1) – 2x(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) = 5x – 20x^2 \)

Tiếp tục khai triển tích \( -2x(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) \):

\( -2x(8x^3 + 12x^2 + 6x + 1) = -16x^4 – 24x^3 – 12x^2 – 2x \)

Thay vào phương trình:

\( 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 – 16x^4 – 24x^3 – 12x^2 – 2x = 5x – 20x^2 \)

Nhóm các hạng tử cùng bậc và chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\( -16x^4 + (8x^3 – 24x^3) + (-12x^2 – 12x^2) + (6x – 2x) – 1 – 5x + 20x^2 = 0 \)

\( -16x^4 – 16x^3 – 24x^2 + 4x – 1 – 5x + 20x^2 = 0 \)

\( -16x^4 – 16x^3 + (-24x^2 + 20x^2) + (4x – 5x) – 1 = 0 \)

\( -16x^4 – 16x^3 – 4x^2 – x – 1 = 0 \)

Nhân cả hai vế với \( -1 \) để các hệ số dương:

\( 16x^4 + 16x^3 + 4x^2 + x + 1 = 0 \)

Bước 2: Tìm cách phân tích hoặc nhóm các hạng tử để giải phương trình bậc 4.

Phương trình bậc 4 này có vẻ khó phân tích trực tiếp. Chúng ta hãy thử nhóm các hạng tử theo một cách khác để xem có thể tìm ra nghiệm đặc biệt nào không.

Quan sát phương trình \( 16x^4 + 16x^3 + 4x^2 + x + 1 = 0 \).

Ta có thể thử xem có nghiệm nguyên nào không bằng cách xét các ước của hạng tử tự do là 1. Các ước là 1 và -1.

Nếu \( x = 1 \), ta có: \( 16(1)^4 + 16(1)^3 + 4(1)^2 + 1 + 1 = 16 + 16 + 4 + 1 + 1 = 38 \neq 0 \).

Nếu \( x = -1 \), ta có: \( 16(-1)^4 + 16(-1)^3 + 4(-1)^2 + (-1) + 1 = 16 – 16 + 4 – 1 + 1 = 4 \neq 0 \).

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên là 1 hoặc -1.

Ta thử xem có thể nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung không. Hãy thử chia phương trình cho \( x^2 \) (với điều kiện \(x \neq 0\). Nếu \(x=0\) thì phương trình ban đầu trở thành \( (-1)^3 – 0 = 0 \), tức là \( -1 = 0 \), vô lý. Vậy \(x \neq 0\)).

\( 16x^2 + 16x + 4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \)

Nhóm các hạng tử:

\( 16(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 16(x + \frac{1}{x}) + 4 = 0 \)

Đặt \( y = x + \frac{1}{x} \). Khi đó \( y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \).

Suy ra \( x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 – 2 \).

Thay vào phương trình:

\( 16(y^2 – 2) + 16y + 4 = 0 \)

\( 16y^2 – 32 + 16y + 4 = 0 \)

\( 16y^2 + 16y – 28 = 0 \)

Chia cả hai vế cho 4:

\( 4y^2 + 4y – 7 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai theo biến \( y \). Ta tính delta:

\( \Delta = b^2 – 4ac = (4)^2 – 4(4)(-7) = 16 + 112 = 128 \)

Vì \( \Delta > 0 \) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{128}}{2(4)} = \frac{-4 + 8\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2} \)

\( y_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 – \sqrt{128}}{2(4)} = \frac{-4 – 8\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 – 2\sqrt{2}}{2} \)

Bước 3: Tìm \(x\) từ các giá trị của \(y\).

Trường hợp 1: \( y = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2} \)

Ta có: \( x + \frac{1}{x} = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2} \)

Nhân cả hai vế với \( 2x \):

\( 2x^2 + 2 = (-1 + 2\sqrt{2})x \)

\( 2x^2 – (-1 + 2\sqrt{2})x + 2 = 0 \)

\( 2x^2 + (1 – 2\sqrt{2})x + 2 = 0 \)

Tính delta cho phương trình này:

\( \Delta_1 = b^2 – 4ac = (1 – 2\sqrt{2})^2 – 4(2)(2) \)

\( = (1 – 4\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2) – 16 \)

\( = (1 – 4\sqrt{2} + 8) – 16 \)

\( = 9 – 4\sqrt{2} – 16 \)

\( = -7 – 4\sqrt{2} \)

Vì \( \Delta_1 < 0 \) nên phương trình này không có nghiệm thực.

Trường hợp 2: \( y = \frac{-1 – 2\sqrt{2}}{2} \)

Ta có: \( x + \frac{1}{x} = \frac{-1 – 2\sqrt{2}}{2} \)

Nhân cả hai vế với \( 2x \):

\( 2x^2 + 2 = (-1 – 2\sqrt{2})x \)

\( 2x^2 – (-1 – 2\sqrt{2})x + 2 = 0 \)

\( 2x^2 + (1 + 2\sqrt{2})x + 2 = 0 \)

Tính delta cho phương trình này:

\( \Delta_2 = b^2 – 4ac = (1 + 2\sqrt{2})^2 – 4(2)(2) \)

\( = (1 + 4\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2) – 16 \)

\( = (1 + 4\sqrt{2} + 8) – 16 \)

\( = 9 + 4\sqrt{2} – 16 \)

\( = -7 + 4\sqrt{2} \)

Ta cần kiểm tra dấu của \( -7 + 4\sqrt{2} \).

So sánh 7 và \( 4\sqrt{2} \):

\( 7^2 = 49 \)

\( (4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \)

Vì \( 49 > 32 \) nên \( 7 > 4\sqrt{2} \).

Do đó, \( -7 + 4\sqrt{2} < 0 \).

Vì \( \Delta_2 < 0 \) nên phương trình này cũng không có nghiệm thực.

Kết luận:

Qua các bước phân tích, chúng ta thấy rằng phương trình ban đầu không có nghiệm thực.

Vậy, tập nghiệm của phương trình là tập rỗng.

Các em thấy không, một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta đi từng bước cẩn thận, áp dụng đúng các hằng đẳng thức và kỹ thuật biến đổi đại số thì sẽ giải quyết được. Các em về nhà luyện tập thêm các bài tương tự nhé!