Kính chào các em học sinh!
Cô rất vui được hướng dẫn các em giải hai bài toán về phương trình chứa căn bậc hai. Đây là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 9. Các em hãy chú ý theo dõi các bước giải chi tiết nhé!

---

Bài 1: Giải phương trình:

\(\sqrt[]{x^3 + 2x^2+1}\) = \(\sqrt[]{x^2(x+2)+3x}\)

Lời giải:

Đầu tiên, chúng ta cần xác định điều kiện để các biểu thức dưới dấu căn có nghĩa. Tức là, các biểu thức đó phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Phương trình đã cho là:

\(\sqrt[]{x^3 + 2x^2+1}\) = \(\sqrt[]{x^2(x+2)+3x}\)

Bước 1: Rút gọn vế phải của phương trình.

Ta có: \(x^2(x+2)+3x = x^3 + 2x^2 + 3x\)

Vậy, phương trình trở thành:

\(\sqrt[]{x^3 + 2x^2+1}\) = \(\sqrt[]{x^3 + 2x^2 + 3x}\)

Bước 2: Đặt điều kiện xác định cho phương trình.

Để phương trình có nghĩa, ta phải có:

\(x^3 + 2x^2 + 1 \ge 0\) (1)

Và:

\(x^3 + 2x^2 + 3x \ge 0\) (2)

Lưu ý: Sau khi giải phương trình, chúng ta sẽ thử lại nghiệm vào một trong hai điều kiện trên (hoặc cả hai nếu cần) để đảm bảo nghiệm hợp lệ.

Bước 3: Bình phương hai vế của phương trình.

Vì cả hai vế của phương trình đều là căn bậc hai (luôn không âm), ta có thể bình phương hai vế để loại bỏ dấu căn:

\((\sqrt[]{x^3 + 2x^2+1})^2\) = \((\sqrt[]{x^3 + 2x^2 + 3x})^2\)

\(x^3 + 2x^2+1 = x^3 + 2x^2 + 3x\)

Bước 4: Giải phương trình nhận được.

Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và các hằng số về vế còn lại:

\(x^3 + 2x^2 – x^3 – 2x^2 – 3x = -1\)

\(-3x = -1\)

\(3x = 1\)

\(x = \frac{1}{3}\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định của nghiệm.

Thay \(x = \frac{1}{3}\) vào điều kiện (1): \(x^3 + 2x^2 + 1 \ge 0\)

\((\frac{1}{3})^3 + 2(\frac{1}{3})^2 + 1\)

\(= \frac{1}{27} + 2 \cdot \frac{1}{9} + 1\)

\(= \frac{1}{27} + \frac{2}{9} + 1\)

\(= \frac{1}{27} + \frac{6}{27} + \frac{27}{27}\)

\(= \frac{1+6+27}{27} = \frac{34}{27}\)

Vì \(\frac{34}{27} \ge 0\), nên nghiệm \(x = \frac{1}{3}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Kết luận:

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{1}{3}\).

---

Bài 2: Giải phương trình:

\(\sqrt[]{x^4+1}\) = \(\sqrt[]{x^4-3x+1}\)

Lời giải:

Tương tự như bài 1, chúng ta cần xác định điều kiện xác định cho phương trình.

Bước 1: Đặt điều kiện xác định cho phương trình.

Để phương trình có nghĩa, ta phải có:

\(x^4 + 1 \ge 0\) (3)

Và:

\(x^4 – 3x + 1 \ge 0\) (4)

Quan sát điều kiện (3): Vì \(x^4 \ge 0\) với mọi giá trị của x, nên \(x^4 + 1 \ge 1\). Điều này luôn đúng với mọi x thuộc tập số thực. Do đó, chúng ta chỉ cần kiểm tra điều kiện (4) sau khi tìm được nghiệm.

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình.

Vì cả hai vế của phương trình đều là căn bậc hai (luôn không âm), ta có thể bình phương hai vế để loại bỏ dấu căn:

\((\sqrt[]{x^4+1})^2\) = \((\sqrt[]{x^4-3x+1})^2\)

\(x^4+1 = x^4-3x+1\)

Bước 3: Giải phương trình nhận được.

Chuyển các hạng tử về một vế:

\(x^4+1 – x^4 – (-3x) – 1 = 0\)

\(x^4+1 – x^4 + 3x – 1 = 0\)

\(3x = 0\)

\(x = 0\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định của nghiệm.

Thay \(x = 0\) vào điều kiện (4): \(x^4 – 3x + 1 \ge 0\)

\((0)^4 – 3(0) + 1\)

\(= 0 – 0 + 1\)

\(= 1\)

Vì \(1 \ge 0\), nên nghiệm \(x = 0\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Kết luận:

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất là \(x = 0\).

---

Cô hy vọng qua hai bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách giải phương trình chứa căn bậc hai. Hãy nhớ luôn kiểm tra điều kiện xác định của phương trình sau khi tìm ra nghiệm nhé!