Chào các em học sinh lớp 6! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phương trình có vẻ “hầm hố” một chút, nhưng yên tâm, thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một để làm nó trở nên dễ hiểu. Bài toán của chúng ta là:

Giải phương trình sau trên tập số thực với ẩn số jzp-csos-hk:

\[\sqrt{\text{jzp-csos-hks} + 4\sqrt{\text{jzp-csos-hks} – 4}} + \sqrt{\text{jzp-csos-hks} – 4\sqrt{\text{jzp-csos-hks} – 4}} = \frac{(\text{jzp-csos-hks})^2 – 12(\text{jzp-csos-hks}) + 48}{4}\]

Trước hết, để bài toán gọn gàng hơn, thầy xin phép đặt một ẩn phụ. Chúng ta thấy cụm “jzp-csos-hks” xuất hiện rất nhiều. Gọi \(x = \text{jzp-csos-hks}\).

Khi đó, phương trình của chúng ta trở thành:

\[\sqrt{x + 4\sqrt{x – 4}} + \sqrt{x – 4\sqrt{x – 4}} = \frac{x^2 – 12x + 48}{4}\]

Bây giờ, chúng ta cần chú ý đến điều kiện để các căn bậc hai có nghĩa. Trong trường hợp này, chúng ta cần biểu thức dưới dấu căn không âm. Cụ thể:

1. Biểu thức dưới dấu căn thứ nhất: \(x + 4\sqrt{x – 4} \ge 0\). Vì \(x – 4\) phải không âm để \(\sqrt{x-4}\) có nghĩa, nên \(x \ge 4\). Nếu \(x \ge 4\), thì \(x\) dương và \(4\sqrt{x-4}\) cũng dương, do đó \(x + 4\sqrt{x – 4}\) luôn dương.

2. Biểu thức dưới dấu căn thứ hai: \(x – 4\sqrt{x – 4} \ge 0\).

3. Biểu thức trong căn của căn: \(x – 4 \ge 0\), suy ra \(x \ge 4\).

Điều kiện quan trọng nhất ở đây là \(x \ge 4\).

Bây giờ, chúng ta sẽ tập trung vào việc rút gọn hai biểu thức dưới dấu căn đầu tiên. Các em hãy nhớ lại hằng đẳng thức \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\).

Xét biểu thức thứ nhất: \(\sqrt{x + 4\sqrt{x – 4}}\)

Chúng ta có thể viết \(4\sqrt{x – 4}\) thành \(2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x – 4}\). Để áp dụng hằng đẳng thức, ta cần tìm hai số \(a\) và \(b\) sao cho \(a^2 + b^2 = x\) và \(2ab = 4\sqrt{x – 4}\).

Nếu ta thử \(a = 2\) và \(b = \sqrt{x – 4}\), thì:

\(a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{x – 4})^2 = 4 + (x – 4) = x\).

Và \(2ab = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x – 4} = 4\sqrt{x – 4}\).

Như vậy, \(x + 4\sqrt{x – 4}\) chính là \((2 + \sqrt{x – 4})^2\).

Do đó, \(\sqrt{x + 4\sqrt{x – 4}} = \sqrt{(2 + \sqrt{x – 4})^2}\). Vì \(2 + \sqrt{x – 4}\) luôn không âm (vì \(x \ge 4\)), nên \(\sqrt{(2 + \sqrt{x – 4})^2} = 2 + \sqrt{x – 4}\).

Tiếp theo, xét biểu thức thứ hai: \(\sqrt{x – 4\sqrt{x – 4}}\)

Tương tự, ta phân tích \(4\sqrt{x – 4}\) thành \(2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x – 4}\).

Ta thử \(a = 2\) và \(b = \sqrt{x – 4}\), ta thấy \(a^2 + b^2 = x\) và \(2ab = 4\sqrt{x – 4}\).

Như vậy, \(x – 4\sqrt{x – 4}\) chính là \((2 – \sqrt{x – 4})^2\).

Do đó, \(\sqrt{x – 4\sqrt{x – 4}} = \sqrt{(2 – \sqrt{x – 4})^2}\).

Ở đây, chúng ta cần cẩn thận với dấu của \(2 – \sqrt{x – 4}\). Vì \(\sqrt{a^2} = |a|\), nên \(\sqrt{(2 – \sqrt{x – 4})^2} = |2 – \sqrt{x – 4}|\).

Bây giờ, ta thay thế lại vào phương trình ban đầu:

\[(2 + \sqrt{x – 4}) + |2 – \sqrt{x – 4}| = \frac{x^2 – 12x + 48}{4}\]

Chúng ta xét hai trường hợp cho biểu thức có giá trị tuyệt đối:

Trường hợp 1: \(2 – \sqrt{x – 4} \ge 0\)

Điều này tương đương với \(2 \ge \sqrt{x – 4}\).

Bình phương hai vế (vì cả hai vế đều không âm), ta được \(4 \ge x – 4\), suy ra \(8 \ge x\).

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 4\), ta có \(4 \le x \le 8\).

Trong trường hợp này, \(|2 – \sqrt{x – 4}| = 2 – \sqrt{x – 4}\).

Phương trình trở thành:

\[(2 + \sqrt{x – 4}) + (2 – \sqrt{x – 4}) = \frac{x^2 – 12x + 48}{4}\]
\[4 = \frac{x^2 – 12x + 48}{4}\]

Nhân cả hai vế với 4:

\[16 = x^2 – 12x + 48\]

Chuyển vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\[x^2 – 12x + 48 – 16 = 0\]
\[x^2 – 12x + 32 = 0\]

Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm. Thầy sẽ phân tích thành nhân tử:

Ta tìm hai số có tích là 32 và tổng là -12. Đó là -4 và -8.

\[(x – 4)(x – 8) = 0\]

Suy ra \(x – 4 = 0\) hoặc \(x – 8 = 0\).

Vậy \(x = 4\) hoặc \(x = 8\).

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(4 \le x \le 8\).

Trường hợp 2: \(2 – \sqrt{x – 4} < 0\)

Điều này tương đương với \(2 < \sqrt{x - 4}\).

Bình phương hai vế (vì cả hai vế đều dương), ta được \(4 < x - 4\), suy ra \(8 < x\).

Trong trường hợp này, \(|2 – \sqrt{x – 4}| = -(2 – \sqrt{x – 4}) = \sqrt{x – 4} – 2\).

Phương trình trở thành:

\[(2 + \sqrt{x – 4}) + (\sqrt{x – 4} – 2) = \frac{x^2 – 12x + 48}{4}\]
\[2\sqrt{x – 4} = \frac{x^2 – 12x + 48}{4}\]

Nhân cả hai vế với 4:

\[8\sqrt{x – 4} = x^2 – 12x + 48\]

Phương trình này trông phức tạp hơn. Các em học sinh lớp 6 có thể thấy hơi khó khăn với việc giải nó. Tuy nhiên, chúng ta đã có các nghiệm từ Trường hợp 1 là \(x=4\) và \(x=8\). Ta hãy thử kiểm tra xem chúng có thỏa mãn điều kiện \(x > 8\) của trường hợp này hay không. Rõ ràng là không.

Thầy có một cách suy luận khác để giải quyết trường hợp này một cách đơn giản hơn mà không cần giải phương trình \(8\sqrt{x – 4} = x^2 – 12x + 48\) một cách trực tiếp.

Ta để ý vế phải của phương trình ban đầu: \(\frac{x^2 – 12x + 48}{4}\).

Ta có thể viết lại \(x^2 – 12x + 48 = (x^2 – 12x + 36) + 12 = (x – 6)^2 + 12\).

Vậy, vế phải là \(\frac{(x – 6)^2 + 12}{4}\). Giá trị nhỏ nhất của vế phải này là khi \(x=6\), lúc đó bằng \(\frac{12}{4} = 3\).

Bây giờ, ta xem xét vế trái của phương trình trong Trường hợp 2:

Vế trái = \((2 + \sqrt{x – 4}) + (\sqrt{x – 4} – 2) = 2\sqrt{x – 4}\).

Điều kiện của Trường hợp 2 là \(x > 8\).

Nếu \(x > 8\), thì \(x – 4 > 4\), suy ra \(\sqrt{x – 4} > \sqrt{4} = 2\).

Vậy, \(2\sqrt{x – 4} > 2 \cdot 2 = 4\).

Như vậy, trong Trường hợp 2, vế trái của phương trình (\(2\sqrt{x – 4}\)) luôn lớn hơn 4.

Còn vế phải (\(\frac{(x – 6)^2 + 12}{4}\)) thì có giá trị lớn nhất là bao nhiêu? Khi \(x\) càng lớn thì vế phải càng lớn.

Chúng ta hãy quay lại phương trình ban đầu và kiểm tra các nghiệm \(x=4\) và \(x=8\).

Kiểm tra với \(x = 4\):

Vế trái: \(\sqrt{4 + 4\sqrt{4 – 4}} + \sqrt{4 – 4\sqrt{4 – 4}} = \sqrt{4 + 0} + \sqrt{4 – 0} = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4\).

Vế phải: \(\frac{4^2 – 12(4) + 48}{4} = \frac{16 – 48 + 48}{4} = \frac{16}{4} = 4\).

Vế trái bằng vế phải, nên \(x = 4\) là một nghiệm.

Kiểm tra với \(x = 8\):

Vế trái: \(\sqrt{8 + 4\sqrt{8 – 4}} + \sqrt{8 – 4\sqrt{8 – 4}} = \sqrt{8 + 4\sqrt{4}} + \sqrt{8 – 4\sqrt{4}} = \sqrt{8 + 4(2)} + \sqrt{8 – 4(2)} = \sqrt{8 + 8} + \sqrt{8 – 8} = \sqrt{16} + \sqrt{0} = 4 + 0 = 4\).

Vế phải: \(\frac{8^2 – 12(8) + 48}{4} = \frac{64 – 96 + 48}{4} = \frac{16}{4} = 4\).

Vế trái bằng vế phải, nên \(x = 8\) là một nghiệm.

Bây giờ, quay lại Trường hợp 2 với điều kiện \(x > 8\). Phương trình là \(2\sqrt{x – 4} = \frac{x^2 – 12x + 48}{4}\).

Ta có thể chứng minh rằng không có nghiệm nào trong trường hợp này.

Nhân chéo lên ta được \(8\sqrt{x-4} = x^2 – 12x + 48\).

Bình phương hai vế (cẩn thận vì \(x^2 – 12x + 48\) có thể âm, nhưng với \(x > 8\), \(x^2 – 12x + 48 = (x-6)^2 + 12 > 0\).)

\(64(x – 4) = (x^2 – 12x + 48)^2\)

\(64x – 256 = (x^2 – 12x + 48)^2\)

Việc khai triển vế phải sẽ rất phức tạp. Hãy dùng cách khác.

Chúng ta biết rằng với \(x > 8\), vế trái \(2\sqrt{x-4} > 4\).

Còn vế phải là \(\frac{x^2 – 12x + 48}{4}\).

Hãy thử xem xét phương trình \(2\sqrt{x – 4} = 4\). Điều này xảy ra khi \(x=8\). Nhưng ở đây là \(x > 8\).

Nếu chúng ta vẽ đồ thị của hai hàm số \(y = 2\sqrt{x-4}\) và \(y = \frac{x^2 – 12x + 48}{4}\), ta sẽ thấy chúng chỉ cắt nhau tại \(x=8\).

Để chứng minh Trường hợp 2 không có nghiệm, ta có thể làm như sau:

Ta có \(2\sqrt{x-4} = \frac{x^2-12x+48}{4}\) với \(x>8\).

Ta lại có \((2-\sqrt{x-4})^2 = 4 – 4\sqrt{x-4} + (x-4) = x – 4\sqrt{x-4}\).

Và \((2+\sqrt{x-4})^2 = 4 + 4\sqrt{x-4} + (x-4) = x + 4\sqrt{x-4}\).

Ta biết rằng \(x^2 – 12x + 48 = (x-6)^2 + 12\).

Phương trình là \(2\sqrt{x-4} = \frac{(x-6)^2 + 12}{4}\).

Xét hàm số \(f(x) = 2\sqrt{x-4}\) và \(g(x) = \frac{x^2 – 12x + 48}{4}\) trên miền \(x > 8\).

Đạo hàm của \(f(x)\) là \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x-4}}\).

Đạo hàm của \(g(x)\) là \(g'(x) = \frac{2x – 12}{4} = \frac{x-6}{2}\).

Với \(x > 8\), \(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x-4}} > 0\) (hàm số đồng biến).

Với \(x > 8\), \(g'(x) = \frac{x-6}{2} > \frac{8-6}{2} = 1 > 0\) (hàm số đồng biến).

Ta đã biết \(f(8) = 2\sqrt{8-4} = 4\) và \(g(8) = \frac{8^2 – 12(8) + 48}{4} = 4\).

Tại \(x=8\), hai hàm số bằng nhau.

Bây giờ ta so sánh đạo hàm tại \(x=8\):

\(f'(8) = \frac{1}{\sqrt{8-4}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}\).

\(g'(8) = \frac{8-6}{2} = \frac{2}{2} = 1\).

Vì \(g'(8) > f'(8)\), nên tại \(x=8\), đồ thị hàm \(g(x)\) có độ dốc lớn hơn đồ thị hàm \(f(x)\). Điều này có nghĩa là khi \(x\) tăng lên từ 8, \(g(x)\) sẽ tăng nhanh hơn \(f(x)\).

Do đó, với \(x > 8\), ta có \(g(x) > f(x)\), tức là \(\frac{x^2 – 12x + 48}{4} > 2\sqrt{x-4}\).

Vì vậy, phương trình \(2\sqrt{x – 4} = \frac{x^2 – 12x + 48}{4}\) không có nghiệm khi \(x > 8\).

Trả lời bởi: Giáo viên Chuyên Môn