Bài toán: Tìm đa thức A sao cho A . (−3xy) = 9x³y + 3xy³ – 6x²y².

Để tìm đa thức A, chúng ta cần thực hiện phép chia đa thức vế phải cho đơn thức −3xy.

Ta có biểu thức:

\( A = \frac{9x^3y + 3xy^3 – 6x^2y^2}{-3xy} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành chia từng hạng tử của đa thức ở vế phải cho đơn thức −3xy:

Bước 1: Chia hạng tử thứ nhất:

\( \frac{9x^3y}{-3xy} \)

Ta chia hệ số: \( \frac{9}{-3} = -3 \)

Ta chia phần biến: \( \frac{x^3y}{xy} = x^{3-1}y^{1-1} = x^2y^0 = x^2 \)

Vậy, hạng tử thứ nhất sau khi chia là: \( -3x^2 \)

Bước 2: Chia hạng tử thứ hai:

\( \frac{3xy^3}{-3xy} \)

Ta chia hệ số: \( \frac{3}{-3} = -1 \)

Ta chia phần biến: \( \frac{xy^3}{xy} = x^{1-1}y^{3-1} = x^0y^2 = y^2 \)

Vậy, hạng tử thứ hai sau khi chia là: \( -y^2 \)

Bước 3: Chia hạng tử thứ ba:

\( \frac{-6x^2y^2}{-3xy} \)

Ta chia hệ số: \( \frac{-6}{-3} = 2 \)

Ta chia phần biến: \( \frac{x^2y^2}{xy} = x^{2-1}y^{2-1} = x^1y^1 = xy \)

Vậy, hạng tử thứ ba sau khi chia là: \( 2xy \)

Bước 4: Cộng các kết quả của từng hạng tử lại:

\( A = (-3x^2) + (-y^2) + (2xy) \)
\( A = -3x^2 – y^2 + 2xy \)

Vậy, đa thức A cần tìm là \( -3x^2 + 2xy – y^2 \).

Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách nhân A với −3xy:

\( (-3x^2 + 2xy – y^2) \cdot (-3xy) \)
\( = (-3x^2) \cdot (-3xy) + (2xy) \cdot (-3xy) + (-y^2) \cdot (-3xy) \)
\( = 9x^3y – 6x^2y^2 + 3xy^3 \)

Kết quả này khớp với đề bài, vậy đa thức A chúng ta tìm được là chính xác.

Đáp số: \( A = -3x^2 + 2xy – y^2 \)