Bài toán: Cho hệ phương trình:

\({(x+my=m+1), (mx+y=3m-1):}\)

a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn \(x+y=5\).

Phân tích bài toán:

Để giải bài toán này, chúng ta cần kết hợp hai điều kiện:

1. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

2. Nghiệm duy nhất đó thỏa mãn phương trình \(x+y=5\).

Chúng ta sẽ đi từng bước một.

Bước 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Xét hệ phương trình tuyến tính hai ẩn dạng tổng quát:

\({(ax+by=c), (a’x+b’y=c’):}\)

Hệ này có nghiệm duy nhất khi tỉ lệ giữa các hệ số của x và y khác nhau, tức là \(\frac{a}{a’} \neq \frac{b}{b’}\) hoặc \(ab’ – a’b \neq 0\).

Áp dụng vào hệ phương trình đã cho:

\(a=1, b=m, c=m+1\)

\(a’=m, b’=1, c’=3m-1\)

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là:

\(1 \cdot 1 – m \cdot m \neq 0\)

\(1 – m^2 \neq 0\)

\(m^2 \neq 1\)

\(m \neq 1\) và \(m \neq -1\).

Bước 2: Tìm nghiệm (x;y) theo m khi hệ có nghiệm duy nhất.

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để tìm nghiệm. Ở đây, chúng ta sẽ dùng phương pháp cộng đại số.

Nhân phương trình thứ nhất với m:

\(m(x+my) = m(m+1)\)

\(mx + m^2y = m^2 + m\) (Phương trình 3)

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ ba:

\((mx+y) – (mx + m^2y) = (3m-1) – (m^2+m)\)

\(y – m^2y = 3m – 1 – m^2 – m\)

\(y(1-m^2) = -m^2 + 2m – 1\)

\(y(1-m^2) = -(m^2 – 2m + 1)\)

\(y(1-m^2) = -(m-1)^2\)

Nếu \(m \neq 1\) và \(m \neq -1\), ta có \(1-m^2 = (1-m)(1+m)\).

\(y = \frac{-(m-1)^2}{(1-m)(1+m)} = \frac{-(m-1)^2}{-(m-1)(m+1)} = \frac{m-1}{m+1}\).

Thay giá trị của y vào phương trình thứ nhất của hệ ban đầu:

\(x + m\left(\frac{m-1}{m+1}\right) = m+1\)

\(x = m+1 – \frac{m(m-1)}{m+1}\)

\(x = \frac{(m+1)^2 – m(m-1)}{m+1}\)

\(x = \frac{m^2 + 2m + 1 – (m^2 – m)}{m+1}\)

\(x = \frac{m^2 + 2m + 1 – m^2 + m}{m+1}\)

\(x = \frac{3m + 1}{m+1}\)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x;y) = \left(\frac{3m+1}{m+1}; \frac{m-1}{m+1}\right)\), với điều kiện \(m \neq 1\) và \(m \neq -1\).

Bước 3: Áp dụng điều kiện \(x+y=5\).

Thay biểu thức của x và y vào phương trình \(x+y=5\):

\(\frac{3m+1}{m+1} + \frac{m-1}{m+1} = 5\)

Vì hai phân số có cùng mẫu số \(m+1\), ta có thể cộng tử số lại:

\(\frac{(3m+1) + (m-1)}{m+1} = 5\)

\(\frac{4m}{m+1} = 5\)

Nhân cả hai vế với \(m+1\) (với điều kiện \(m \neq -1\)):

\(4m = 5(m+1)\)

\(4m = 5m + 5\)

\(4m – 5m = 5\)

\(-m = 5\)

\(m = -5\)

Kiểm tra điều kiện:

Chúng ta đã tìm được \(m = -5\). Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem giá trị này có thỏa mãn điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất hay không. Điều kiện là \(m \neq 1\) và \(m \neq -1\).

Với \(m = -5\), ta thấy \(m \neq 1\) và \(m \neq -1\). Do đó, giá trị \(m = -5\) là hợp lệ.

Kết luận:

Vậy, giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn \(x+y=5\) là m = -5.

Các em thấy bài toán này có thú vị không? Chúng ta đã kết hợp kiến thức về điều kiện có nghiệm duy nhất của hệ phương trình tuyến tính và giải phương trình với tham số.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em đừng ngần ngại hỏi nhé!