Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về hình học và đại số, đó là bài toán liên quan đến hai hình vuông. Đây là dạng bài tập giúp các em ôn lại các công thức về chu vi, diện tích và cách giải hệ phương trình nhé.

Bài toán: Hai hình vuông có hiệu chu vi bằng 20m và hiệu diện tích bằng 65m². Tìm độ dài cạnh của mỗi hình vuông?

Chúng ta cùng phân tích và giải bài toán này thật chi tiết nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi các ẩn và đặt điều kiện.

Để giải bài toán, trước hết chúng ta cần gọi các đại lượng chưa biết là các biến số.

Gọi độ dài cạnh của hình vuông thứ nhất là \(a\) (mét). Điều kiện: \(a > 0\).
Gọi độ dài cạnh của hình vuông thứ hai là \(b\) (mét). Điều kiện: \(b > 0\).

Để thuận tiện cho việc lập phương trình hiệu chu vi và hiệu diện tích, chúng ta giả sử cạnh của hình vuông thứ nhất lớn hơn cạnh của hình vuông thứ hai, tức là \(a > b\).

Bước 2: Lập các phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

Theo đề bài, chúng ta có hai thông tin chính:

1. Hiệu chu vi bằng 20m:

Chu vi của hình vuông thứ nhất là \(P_1 = 4a\) (mét).
Chu vi của hình vuông thứ hai là \(P_2 = 4b\) (mét).
Vì hiệu chu vi bằng 20m và ta giả sử \(a > b\), nên ta có phương trình:

\(P_1 – P_2 = 20\)

\(4a – 4b = 20\) (Phương trình 1)

2. Hiệu diện tích bằng 65m²:

Diện tích của hình vuông thứ nhất là \(S_1 = a^2\) (mét vuông).
Diện
tích của hình vuông thứ hai là \(S_2 = b^2\) (mét vuông).
Vì hiệu diện tích bằng 65m² và ta giả sử \(a > b\), nên ta có phương trình:

\(S_1 – S_2 = 65\)

\(a^2 – b^2 = 65\) (Phương trình 2)

Từ đây, chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn \(a\) và \(b\):

1) \(4a – 4b = 20\)
2) \(a^2 – b^2 = 65\)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Chúng ta sẽ bắt đầu giải từ Phương trình 1 để tìm mối liên hệ đơn giản hơn giữa \(a\) và \(b\).

Từ Phương trình 1: \(4a – 4b = 20\)
Chia cả hai vế cho 4, ta được:

\(a – b = 5\) (Phương trình 3)

Bây giờ, chúng ta xem xét Phương trình 2: \(a^2 – b^2 = 65\)

Các em có nhận ra đây là một hằng đẳng thức quen thuộc không? Đúng vậy, đó là hiệu hai bình phương: \(X^2 – Y^2 = (X – Y)(X + Y)\).

Áp dụng hằng đẳng thức này, ta có:

\((a – b)(a + b) = 65\) (Phương trình 4)

Bây giờ, chúng ta đã có giá trị của \((a – b)\) từ Phương trình 3. Chúng ta sẽ thay giá trị này vào Phương trình 4.

Thay \(a – b = 5\) vào Phương trình 4, ta được:

\(5(a + b) = 65\)

Để tìm giá trị của \((a + b)\), chúng ta chia cả hai vế cho 5:

\(a + b = \frac{65}{5}\)

\(a + b = 13\) (Phương trình 5)

Vậy, chúng ta đã biến hệ phương trình ban đầu thành một hệ phương trình đơn giản hơn nhiều:

3) \(a – b = 5\)
5) \(a + b = 13\)

Giờ chúng ta có thể giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số (hoặc thế).

Cộng Phương trình 3 và Phương trình 5:

\((a – b) + (a + b) = 5 + 13\)

\(2a = 18\)

Chia cả hai vế cho 2 để tìm \(a\):

\(a = \frac{18}{2}\)

\(a = 9\)

Vậy, độ dài cạnh của hình vuông thứ nhất là 9 mét.

Thay \(a = 9\) vào Phương trình 3 để tìm \(b\):

\(9 – b = 5\)

\(b = 9 – 5\)

\(b = 4\)

Vậy, độ dài cạnh của hình vuông thứ hai là 4 mét.

Bước 4: Kiểm tra lại các điều kiện và kết quả.

Cả hai giá trị \(a = 9\) và \(b = 4\) đều lớn hơn 0 và \(a > b\) (9 > 4), phù hợp với điều kiện đã đặt.

Kiểm tra lại hiệu chu vi:

\(4a – 4b = 4(9) – 4(4) = 36 – 16 = 20\) (m). (Đúng)

Kiểm tra lại hiệu diện tích:

\(a^2 – b^2 = 9^2 – 4^2 = 81 – 16 = 65\) (m²). (Đúng)

Vậy, các giá trị tìm được là chính xác.

Bước 5: Kết luận.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ nhất là 9 mét.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ hai là 4 mét.

Hy vọng các em đã nắm rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tương tự để thành thạo hơn nhé!