Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về điều kiện để một biểu thức có chứa căn bậc hai có nghĩa. Đây là một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Nhắc lại kiến thức cơ bản:

Một biểu thức có dạng \(\sqrt{A}\) có nghĩa (hay xác định) khi và chỉ khi biểu thức A lấy giá trị không âm, tức là \(A \ge 0\).

Nếu A là một phân thức \(\frac{B}{C}\), thì ngoài điều kiện \(\frac{B}{C} \ge 0\), chúng ta còn phải nhớ rằng mẫu số C phải khác 0.

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng bài tập nhé!

Bài giải:

a) Biểu thức: \(\sqrt[]{\frac{2025}{2x+3}}\)

Để biểu thức \(\sqrt[]{\frac{2025}{2x+3}}\) có nghĩa, chúng ta cần hai điều kiện sau:

1. Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(\frac{2025}{2x+3} \ge 0\).
2. Mẫu số phải khác 0: \(2x+3 \ne 0\).

Xét điều kiện thứ nhất: \(\frac{2025}{2x+3} \ge 0\).

Vì tử số \(2025\) là một số dương (\(2025 > 0\)), nên để phân thức \(\frac{2025}{2x+3}\) không âm, mẫu số \(2x+3\) cũng phải là một số dương. (Nếu mẫu số là số âm, thì phân thức sẽ là số âm).

Do đó, ta có: \(2x+3 > 0\).

Giải bất phương trình này:

\(2x > -3\)

\(x > -\frac{3}{2}\)

Điều kiện này cũng đồng thời thỏa mãn điều kiện thứ hai (\(2x+3 \ne 0\)).

Vậy, biểu thức \(\sqrt[]{\frac{2025}{2x+3}}\) có nghĩa khi \(x > -\frac{3}{2}\).

b) Biểu thức: \(\sqrt[]{\frac{-1}{3x-1} }\)

Để biểu thức \(\sqrt[]{\frac{-1}{3x-1} }\) có nghĩa, chúng ta cần hai điều kiện sau:

1. Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(\frac{-1}{3x-1} \ge 0\).
2. Mẫu số phải khác 0: \(3x-1 \ne 0\).

Xét điều kiện thứ nhất: \(\frac{-1}{3x-1} \ge 0\).

Vì tử số \(-1\) là một số âm (\(-1 < 0\)), nên để phân thức \(\frac{-1}{3x-1}\) không âm, mẫu số \(3x-1\) phải là một số âm. (Vì \(\frac{\text{âm}}{\text{âm}} = \text{dương}\)).

Do đó, ta có: \(3x-1 < 0\).

Giải bất phương trình này:

\(3x < 1\)

\(x < \frac{1}{3}\)

Điều kiện này cũng đồng thời thỏa mãn điều kiện thứ hai (\(3x-1 \ne 0\)).

Vậy, biểu thức \(\sqrt[]{\frac{-1}{3x-1} }\) có nghĩa khi \(x < \frac{1}{3}\).

c) Biểu thức: \(\sqrt[]{\frac{2-7x}{2024} }\)

Để biểu thức \(\sqrt[]{\frac{2-7x}{2024} }\) có nghĩa, chúng ta chỉ cần điều kiện biểu thức dưới dấu căn phải không âm:

\(\frac{2-7x}{2024} \ge 0\).

Vì mẫu số \(2024\) là một số dương (\(2024 > 0\)), nên để phân thức \(\frac{2-7x}{2024}\) không âm, tử số \(2-7x\) cũng phải không âm.

Do đó, ta có: \(2-7x \ge 0\).

Giải bất phương trình này:

\(-7x \ge -2\)

Khi chia cả hai vế của bất phương trình cho một số âm, chúng ta phải đổi chiều bất phương trình.

\(x \le \frac{-2}{-7}\)

\(x \le \frac{2}{7}\)

Vậy, biểu thức \(\sqrt[]{\frac{2-7x}{2024} }\) có nghĩa khi \(x \le \frac{2}{7}\).

d) Biểu thức: \(\sqrt[]{\frac{2025}{x^{2} } }\)

Để biểu thức \(\sqrt[]{\frac{2025}{x^{2} } }\) có nghĩa, chúng ta cần hai điều kiện sau:

1. Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(\frac{2025}{x^{2}} \ge 0\).
2. Mẫu số phải khác 0: \(x^{2} \ne 0\).

Xét điều kiện thứ nhất: \(\frac{2025}{x^{2}} \ge 0\).

Vì tử số \(2025\) là một số dương (\(2025 > 0\)), nên để phân thức \(\frac{2025}{x^{2}}\) không âm, mẫu số \(x^{2}\) cũng phải là một số dương.

Chúng ta biết rằng \(x^{2} \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\).

Để \(x^{2}\) là số dương, chúng ta chỉ cần loại trừ trường hợp \(x^{2} = 0\).

Do đó, \(x^{2} > 0 \implies x \ne 0\).

Điều kiện này cũng đồng thời thỏa mãn điều kiện thứ hai (\(x^2 \ne 0\)).

Vậy, biểu thức \(\sqrt[]{\frac{2025}{x^{2} } }\) có nghĩa khi \(x \ne 0\).

e) Biểu thức: \(\frac{x}{x-2}\) +\(\sqrt[]{x-2}\)

Biểu thức này là tổng của hai biểu thức. Để cả biểu thức có nghĩa, mỗi biểu thức thành phần phải có nghĩa.

Phần 1: \(\frac{x}{x-2}\)

Để phân thức \(\frac{x}{x-2}\) có nghĩa, mẫu số phải khác 0:

\(x-2 \ne 0 \implies x \ne 2\).

Phần 2: \(\sqrt[]{x-2}\)

Để biểu thức \(\sqrt[]{x-2}\) có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn phải không âm:

\(x-2 \ge 0 \implies x \ge 2\).

Kết hợp cả hai điều kiện:

Chúng ta cần \(x \ne 2\) và \(x \ge 2\).

Khi kết hợp hai điều kiện này, chúng ta thấy rằng \(x\) phải lớn hơn 2.

Vậy, biểu thức \(\frac{x}{x-2}\) +\(\sqrt[]{x-2}\) có nghĩa khi \(x > 2\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải các bài toán này. Hãy ghi nhớ các điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa nhé!