Xin chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị liên quan đến số học và tính chia hết. Đây là một dạng bài thường gặp, đòi hỏi sự suy luận logic và khả năng áp dụng các kiến thức về đồng dư thức.

Đề bài: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số dạng \(abccba\) chia hết cho 7?

Giải:

Một số tự nhiên có 6 chữ số dạng \(abccba\) có thể được viết dưới dạng khai triển như sau:

\(N = a \times 10^5 + b \times 10^4 + c \times 10^3 + c \times 10^2 + b \times 10^1 + a \times 10^0\)

\(N = 100000a + 10000b + 1000c + 100c + 10b + a\)

Nhóm các số hạng lại, ta được:

\(N = (100000a + a) + (10000b + 10b) + (1000c + 100c)\)

\(N = 100001a + 10010b + 1100c\)

Để số \(N\) chia hết cho 7, ta xét đồng dư của các hệ số với 7:

• \(100001 \pmod{7}\):
  Ta có \(100001 = 14285 \times 7 + 6\).
  Vậy, \(100001 \equiv 6 \pmod{7}\), hay \(100001 \equiv -1 \pmod{7}\).
• \(10010 \pmod{7}\):
  Ta có \(10010 = 1430 \times 7 + 0\).
  Vậy, \(10010 \equiv 0 \pmod{7}\). (Điều này rất hữu ích!)
• \(1100 \pmod{7}\):
  Ta có \(1100 = 157 \times 7 + 1\).
  Vậy, \(1100 \equiv 1 \pmod{7}\).

Thay thế các giá trị đồng dư vào biểu thức của \(N\), ta được:

\(N \equiv (-1)a + (0)b + (1)c \pmod{7}\)

\(N \equiv -a + c \pmod{7}\)

Để \(N\) chia hết cho 7, ta phải có:

\(-a + c \equiv 0 \pmod{7}\)

Hay \(c \equiv a \pmod{7}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ xét các điều kiện của các chữ số \(a, b, c\):

• \(a\) là chữ số đầu tiên của số có 6 chữ số, nên \(a \in \{1, 2, …, 9\}\).
• \(b\) là chữ số, nên \(b \in \{0, 1, …, 9\}\).
• \(c\) là chữ số, nên \(c \in \{0, 1, …, 9\}\).

Ta sẽ tìm số cặp \((a, c)\) thỏa mãn \(c \equiv a \pmod{7}\) và sau đó tính đến chữ số \(b\).

1. Xét chữ số \(a\):

• Nếu \(a = 1\): \(c \equiv 1 \pmod{7}\). Các giá trị của \(c\) có thể là \(1, 8\). (Có 2 giá trị)
• Nếu \(a = 2\): \(c \equiv 2 \pmod{7}\). Các giá trị của \(c\) có thể là \(2, 9\). (Có 2 giá trị)
• Nếu \(a = 3\): \(c \equiv 3 \pmod{7}\). Các giá trị của \(c\) có thể là \(3\). (Có 1 giá trị, vì \(3+7=10\) vượt quá 9)
• Nếu \(a = 4\): \(c \equiv 4 \pmod{7}\). Các giá trị của \(c\) có thể là \(4\). (Có 1 giá trị)
• Nếu \(a = 5\): \(c \equiv 5 \pmod{7}\). Các giá trị của \(c\) có thể là \(5\). (Có 1 giá trị)
• Nếu \(a = 6\): \(c \equiv 6 \pmod{7}\). Các giá trị của \(c\) có thể là \(6\). (Có 1 giá trị)
• Nếu \(a = 7\): \(c \equiv 7 \pmod{7}\), tức là \(c \equiv 0 \pmod{7}\). Các giá trị của \(c\) có thể là \(0, 7\). (Có 2 giá trị)
• Nếu \(a = 8\): \(c \equiv 8 \pmod{7}\), tức là \(c \equiv 1 \pmod{7}\). Các giá trị của \(c\) có thể là \(1, 8\). (Có 2 giá trị)
• Nếu \(a = 9\): \(c \equiv 9 \pmod{7}\), tức là \(c \equiv 2 \pmod{7}\). Các giá trị của \(c\) có thể là \(2, 9\). (Có 2 giá trị)

Tổng số cặp \((a, c)\) thỏa mãn điều kiện là: \(2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 14\) cặp.

2. Xét chữ số \(b\):

Chữ số \(b\) có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ 0 đến 9, mà không ảnh hưởng đến điều kiện chia hết cho 7 (vì hệ số của \(b\) khi chia cho 7 là 0).
Vậy, có 10 giá trị có thể cho \(b\) (từ 0 đến 9).

3. Tổng số các số thỏa mãn:

Để tìm tổng số các số \(abccba\) thỏa mãn, ta nhân số khả năng chọn \((a, c)\) với số khả năng chọn \(b\):

Tổng số = (Số cặp \((a, c)\)) \(\times\) (Số giá trị của \(b\))

Tổng số = \(14 \times 10 = 140\)

Vậy, có 140 số tự nhiên có 6 chữ số dạng \(abccba\) chia hết cho 7.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chú ý đến việc khai triển số, sử dụng đồng dư thức và xét cẩn thận các điều kiện của chữ số nhé!