Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán xác suất thú vị liên quan đến việc lập số tự nhiên. Đây là một dạng bài điển hình, đòi hỏi chúng ta phải kết hợp kiến thức về tổ hợp, chỉnh hợp và tính chất chia hết của số tự nhiên.

Chúng ta cùng đọc kỹ đề bài nhé:

Đề bài: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 lập số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để số được lập chia hết cho 1111.

—

Bài giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước quen thuộc của bài toán xác suất:

1. Xác định không gian mẫu \(\Omega\).
2. Xác định biến cố A (số được lập chia hết cho 1111) và tính số phần tử của A, tức là \(|A|\).
3. Tính xác suất \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\).

Bước 1: Xác định không gian mẫu \(\Omega\).

Chúng ta cần lập một số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau từ tập hợp 8 chữ số \(\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\).

Mỗi số được lập là một cách sắp xếp 8 chữ số này vào 8 vị trí. Đây chính là một hoán vị của 8 phần tử.

Số các số tự nhiên có thể lập được là: \(|\Omega| = P_8 = 8!\)

\(8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320\).

Vậy, không gian mẫu của chúng ta có 40320 phần tử.

Bước 2: Xác định biến cố A và tính \(|A|\).

Biến cố A là số được lập chia hết cho 1111.

Gọi số tự nhiên có 8 chữ số là \(N = \overline{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8}\), trong đó \(a_1, a_2, \dots, a_8\) là các chữ số đôi một khác nhau từ tập \(\{1; 2; \dots; 8\}\).

Để số \(N\) chia hết cho 1111, chúng ta cần tìm một tính chất đặc biệt của 1111.

Ta nhận thấy: \(10^4 = 10000\). Khi chia \(10000\) cho \(1111\), ta có:

\(10000 = 9 \times 1111 + 1\)

Điều này có nghĩa là \(10^4 \equiv 1 \pmod{1111}\).

Bây giờ, chúng ta sẽ biểu diễn số \(N\) dưới dạng tổng để áp dụng tính chất trên:

\(N = a_1 \cdot 10^7 + a_2 \cdot 10^6 + a_3 \cdot 10^5 + a_4 \cdot 10^4 + a_5 \cdot 10^3 + a_6 \cdot 10^2 + a_7 \cdot 10^1 + a_8 \cdot 10^0\)

Ta có thể viết lại \(N\) như sau:

\(N = \overline{a_1 a_2 a_3 a_4} \cdot 10^4 + \overline{a_5 a_6 a_7 a_8}\)

Áp dụng đồng dư thức \(10^4 \equiv 1 \pmod{1111}\), ta có:

\(N \equiv \overline{a_1 a_2 a_3 a_4} \cdot 1 + \overline{a_5 a_6 a_7 a_8} \pmod{1111}\)

Vậy, số \(N\) chia hết cho 1111 khi và chỉ khi tổng \(\overline{a_1 a_2 a_3 a_4} + \overline{a_5 a_6 a_7 a_8}\) chia hết cho 1111.

Đặt \(X = \overline{a_1 a_2 a_3 a_4}\) và \(Y = \overline{a_5 a_6 a_7 a_8}\).

Các chữ số \(a_1, \dots, a_8\) là đôi một khác nhau và thuộc tập \(\{1; 2; \dots; 8\}\).

Phạm vi của \(X\) và \(Y\):

• Số \(X\) nhỏ nhất có thể là 1234. Số \(X\) lớn nhất có thể là 8765.
• Số \(Y\) nhỏ nhất có thể là 1234. Số \(Y\) lớn nhất có thể là 8765.

Phạm vi của tổng \(X+Y\):

Vì các chữ số của \(X\) và \(Y\) phải là 8 chữ số khác nhau từ 1 đến 8, nên:

• Tổng nhỏ nhất của \(X+Y\): \(X\) được tạo từ 4 chữ số nhỏ nhất (1,2,3,4), \(Y\) được tạo từ 4 chữ số còn lại (5,6,7,8).
  Ví dụ: \(X = 1234\), \(Y = 5678\). Khi đó \(X+Y = 1234 + 5678 = 6912\).
• Tổng lớn nhất của \(X+Y\): \(X\) được tạo từ 4 chữ số lớn nhất (8,7,6,5), \(Y\) được tạo từ 4 chữ số còn lại (4,3,2,1).
  Ví dụ: \(X = 8765\), \(Y = 4321\). Khi đó \(X+Y = 8765 + 4321 = 13086\).

Vậy, \(6912 \le X+Y \le 13086\).

Chúng ta cần tìm các bội của 1111 nằm trong khoảng này:

• \(1111 \times 6 = 6666\) (nhỏ hơn 6912, loại)
• \(1111 \times 7 = 7777\) (có thể)
• \(1111 \times 8 = 8888\) (có thể)
• \(1111 \times 9 = 9999\) (có thể)
• \(1111 \times 10 = 11110\) (có thể)
• \(1111 \times 11 = 12221\) (có thể)
• \(1111 \times 12 = 13332\) (lớn hơn 13086, loại)

Vậy, \(X+Y\) có thể nhận các giá trị: 7777, 8888, 9999, 11110, 12221.

Bây giờ chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp:

Đặt \(X = a_1 a_2 a_3 a_4\) và \(Y = a_5 a_6 a_7 a_8\).

Trường hợp 1: \(X+Y = 7777\)

Để \(X+Y = 7777\), không có phép cộng có nhớ giữa các hàng. Điều này có nghĩa là:

• \(a_4 + a_8 = 7\)
• \(a_3 + a_7 = 7\)
• \(a_2 + a_6 = 7\)
• \(a_1 + a_5 = 7\)

Chúng ta cần tìm 4 cặp chữ số đôi một khác nhau từ \(\{1; \dots; 8\}\) mà mỗi cặp có tổng bằng 7.

Các cặp có tổng bằng 7 là: \((1;6), (2;5), (3;4)\).

Ta chỉ có 3 cặp như vậy. Chúng ta cần 4 cặp. Do đó, trường hợp \(X+Y=7777\) là không thể xảy ra.

Trường hợp 2: \(X+Y = 8888\)

Tương tự, không có phép cộng có nhớ. Chúng ta cần 4 cặp chữ số đôi một khác nhau có tổng bằng 8.

Các cặp có tổng bằng 8 là: \((1;7), (2;6), (3;5)\).

Ta chỉ có 3 cặp. Do đó, trường hợp \(X+Y=8888\) là không thể xảy ra.

Trường hợp 3: \(X+Y = 9999\)

Tương tự, không có phép cộng có nhớ. Chúng ta cần 4 cặp chữ số đôi một khác nhau có tổng bằng 9.

Các cặp có tổng bằng 9 là: \((1;8), (2;7), (3;6), (4;5)\).

Ta có đúng 4 cặp. Đây là trường hợp khả thi!

Các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 đều được sử dụng một lần và tạo thành 4 cặp này.

Chúng ta cần sắp xếp các chữ số vào các vị trí \(a_1, \dots, a_8\) sao cho \(a_i + a_{i+4} = 9\) cho mọi \(i=1,2,3,4\).

• Đối với cặp \((1;8)\): Chữ số 1 có thể là \(a_1\) (và 8 là \(a_5\)) hoặc 8 là \(a_1\) (và 1 là \(a_5\)). Có 2 cách chọn cho cặp \((a_1, a_5)\).
• Đối với cặp \((2;7)\): Chữ số 2 có thể là \(a_2\) (và 7 là \(a_6\)) hoặc 7 là \(a_2\) (và 2 là \(a_6\)). Có 2 cách chọn cho cặp \((a_2, a_6)\).
• Đối với cặp \((3;6)\): Chữ số 3 có thể là \(a_3\) (và 6 là \(a_7\)) hoặc 6 là \(a_3\) (và 3 là \(a_7\)). Có 2 cách chọn cho cặp \((a_3, a_7)\).
• Đối với cặp \((4;5)\): Chữ số 4 có thể là \(a_4\) (và 5 là \(a_8\)) hoặc 5 là \(a_4\) (và 4 là \(a_8\)). Có 2 cách chọn cho cặp \((a_4, a_8)\).

Tổng số cách để tạo ra số \(N\) trong trường hợp này là \(2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16\) số.

Trường hợp 4: \(X+Y = 11110\)

Để \(X+Y = 11110\), phải có các phép cộng có nhớ.
Gọi \(c_0, c_1, c_2\) là các số nhớ từ hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm.

• \(a_4 + a_8 = 0 + 10c_0\). Vì \(a_4, a_8 \in \{1,\dots,8\}\) và \(a_4 \ne a_8\), nên \(1+2 \le a_4+a_8 \le 8+7\), tức là \(3 \le a_4+a_8 \le 15\). Vậy \(a_4+a_8\) phải bằng 10, suy ra \(c_0=1\).
• \(a_3 + a_7 + c_0 = 1 + 10c_1 \Rightarrow a_3 + a_7 + 1 = 1 + 10c_1 \Rightarrow a_3 + a_7 = 10c_1\). Tương tự, \(a_3+a_7\) phải bằng 10, suy ra \(c_1=1\).
• \(a_2 + a_6 + c_1 = 1 + 10c_2 \Rightarrow a_2 + a_6 + 1 = 1 + 10c_2 \Rightarrow a_2 + a_6 = 10c_2\). Tương tự, \(a_2+a_6\) phải bằng 10, suy ra \(c_2=1\).
• \(a_1 + a_5 + c_2 = 1 + 10c_3\). Vì tổng \(X+Y\) là 11110, chữ số hàng vạn là 1, nên \(c_3=1\).
  \(a_1 + a_5 + 1 = 1 + 10(1) \Rightarrow a_1 + a_5 = 10\).

Như vậy, chúng ta cần 4 cặp chữ số đôi một khác nhau có tổng bằng 10.

Các cặp có tổng bằng 10 là: \((2;8), (3;7), (4;6)\).

Ta chỉ có 3 cặp. Do đó, trường hợp \(X+Y=11110\) là không thể xảy ra.

Trường hợp 5: \(X+Y = 12221\)

Tương tự, xét các phép cộng có nhớ:

• \(a_4 + a_8 = 1 + 10c_0\). \(a_4+a_8\) phải bằng 11, suy ra \(c_0=1\). (vì \(3 \le a_4+a_8 \le 15\))
• \(a_3 + a_7 + c_0 = 2 + 10c_1 \Rightarrow a_3 + a_7 + 1 = 2 + 10c_1 \Rightarrow a_3 + a_7 = 1 + 10c_1\). \(a_3+a_7\) phải bằng 11, suy ra \(c_1=1\).
• \(a_2 + a_6 + c_1 = 2 + 10c_2 \Rightarrow a_2 + a_6 + 1 = 2 + 10c_2 \Rightarrow a_2 + a_6 = 1 + 10c_2\). \(a_2+a_6\) phải bằng 11, suy ra \(c_2=1\).
• \(a_1 + a_5 + c_2 = 2 + 10c_3\). Vì tổng \(X+Y\) là 12221, chữ số hàng vạn là 1, nên \(c_3=1\).
  \(a_1 + a_5 + 1 = 2 + 10(1) \Rightarrow a_1 + a_5 = 11\).

Như vậy, chúng ta cần 4 cặp chữ số đôi một khác nhau có tổng bằng 11.

Các cặp có tổng bằng 11 là: \((3;8), (4;7), (5;6)\).

Ta chỉ có 3 cặp. Do đó, trường hợp \(X+Y=12221\) là không thể xảy ra.

Kết luận về \(|A|\):

Chỉ có trường hợp \(X+Y=9999\) là khả thi, và trong trường hợp này có 16 số thỏa mãn.

Vậy, số phần tử của biến cố A là \(|A| = 16\).

Bước 3: Tính xác suất \(P(A)\).

Xác suất để số được lập chia hết cho 1111 là:

\(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{16}{40320}\)

Rút gọn phân số:

\(P(A) = \frac{16}{40320} = \frac{1}{2520}\)

Kết luận: Xác suất để số được lập chia hết cho 1111 là \(\frac{1}{2520}\).

—

Giải đáp một số thắc mắc có thể có:

1. Tại sao lại tách số \(N\) thành \(\overline{a_1a_2a_3a_4}\) và \(\overline{a_5a_6a_7a_8}\) và sử dụng \(10^4 \equiv 1 \pmod{1111}\)?

Đây là một kỹ thuật thường dùng khi xét tính chia hết cho các số có dạng đặc biệt như 11, 101, 1111, … Khi ta tìm được một lũy thừa của 10 đồng dư với 1 (hoặc -1) theo modulo số đó, ta có thể rút gọn phép tính rất nhiều. Cụ thể ở đây, \(10^4 \equiv 1 \pmod{1111}\) cho phép chúng ta biến một bài toán chia hết cho số 8 chữ số thành một bài toán đơn giản hơn với tổng của hai số có 4 chữ số. Nếu không có tính chất này, việc kiểm tra từng số \(N\) sẽ rất phức tạp.

2. Làm thế nào để biết \(X+Y\) không thể bằng các giá trị khác ngoài 9999?

Chúng ta đã phân tích cặn kẽ từng trường hợp của tổng \(X+Y\) (7777, 8888, 9999, 11110, 12221). Bằng cách xem xét cấu trúc của tổng (có nhớ hay không có nhớ giữa các hàng) và yêu cầu rằng các chữ số phải đôi một khác nhau và thuộc tập \(\{1; \dots; 8\}\), chúng ta đã chỉ ra rằng chỉ có trường hợp tổng \(X+Y=9999\) là thỏa mãn điều kiện là có đủ 4 cặp chữ số khác nhau mà tổng của mỗi cặp bằng 9.

3. “CCT3” trong yêu cầu có nghĩa là gì?

“CCT3” thường được hiểu là các công thức đếm cơ bản trong Tổ hợp (Combinatorics), bao gồm Chỉnh hợp (Arrangement/Permutation), Tổ hợp (Combination). Trong bài này, chúng ta đã sử dụng khái niệm Hoán vị (một dạng đặc biệt của Chỉnh hợp) để tính không gian mẫu \(|\Omega| = P_8 = 8!\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ bài giải này. Đây là một bài toán hay, giúp chúng ta ôn lại nhiều kiến thức!