Chúng ta cùng đọc kỹ lại đề bài nhé:

Bài 3: Rào khu đất chia làm 3 ngăn giáp tường nhà
Một chủ trang trại nuôi gà muốn làm một khu rào hình chữ nhật giáp tường nhà thẳng có diện tích \(1.200\text{ m}^2\). Bên trong khu đất, người ta dùng 2 hàng rào chắn vuông góc với tường nhà để chia thành 3 ngăn nhỏ bằng nhau. Tìm các kích thước ngoài của khu rào sao cho tổng chiều dài hàng rào cần làm là ít nhất.

Phân tích đề bài và lập hình minh họa:

Đầu tiên, các em cần hình dung khu đất này. Nó là một hình chữ nhật, có một cạnh dài giáp với tường nhà. Điều này có nghĩa là chúng ta không cần làm hàng rào ở phía cạnh giáp tường.

Bên trong khu đất, có 2 hàng rào chắn vuông góc với tường nhà, chia khu đất thành 3 ngăn nhỏ bằng nhau. Điều này có nghĩa là các hàng rào chắn này sẽ song song với các cạnh ngắn của khu đất và có độ dài bằng cạnh ngắn đó.

Để dễ hình dung, chúng ta hãy đặt tên cho các kích thước:

Gọi chiều dài của khu đất (cạnh song song với tường nhà và đối diện với tường) là \(x\) (mét).

Gọi chiều rộng của khu đất (cạnh vuông góc với tường nhà) là \(y\) (mét).

Hình ảnh minh họa khu đất và các hàng rào:

----------------------------------- <– Tường nhà (Không cần rào)

| | | |

| | | |

y y y y

| | | |

| | | |

----------------------------------- <– Hàng rào dài \(x\)

(x/3) (x/3) (x/3)

<----------------- x ----------------->

Các hàng rào cần làm sẽ bao gồm:

1. Một cạnh dài đối diện tường nhà: có chiều dài là \(x\).
2. Hai cạnh rộng ở hai bên của khu đất: mỗi cạnh có chiều dài là \(y\).
3. Hai hàng rào chắn bên trong (để chia thành 3 ngăn): mỗi hàng rào này cũng có chiều dài là \(y\) vì chúng vuông góc với tường nhà và kéo dài hết chiều rộng khu đất.

Vậy, tổng chiều dài hàng rào cần làm, ký hiệu là \(P\), sẽ là:

\(P = x + y + y + y + y = x + 4y\)

Các thông tin từ đề bài:

Diện tích khu đất là \(1.200\text{ m}^2\). Diện tích hình chữ nhật được tính bằng chiều dài nhân chiều rộng.

Vậy ta có: \(x \cdot y = 1200\)

Mục tiêu của bài toán:

Tìm các kích thước \(x\) và \(y\) sao cho tổng chiều dài hàng rào \(P = x + 4y\) là nhỏ nhất.

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):

Bất đẳng thức Cô-si phát biểu rằng: Với hai số thực không âm \(a\) và \(b\), ta luôn có \(\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\), hay \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\).

Trong biểu thức \(P = x + 4y\), chúng ta có hai “số hạng” là \(x\) và \(4y\). Cả \(x\) và \(y\) đều là các kích thước nên phải lớn hơn 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(x\) và \(4y\):

\(P = x + 4y \ge 2\sqrt{x \cdot 4y}\)

\(P \ge 2\sqrt{4xy}\)

Chúng ta biết \(xy = 1200\). Thay giá trị này vào bất đẳng thức:

\(P \ge 2\sqrt{4 \cdot 1200}\)

\(P \ge 2\sqrt{4800}\)

Bây giờ chúng ta rút gọn \(\sqrt{4800}\):

\(\sqrt{4800} = \sqrt{1600 \cdot 3} = \sqrt{1600} \cdot \sqrt{3} = 40\sqrt{3}\)

Vậy, tổng chiều dài hàng rào \(P\) sẽ là:

\(P \ge 2 \cdot 40\sqrt{3}\)

\(P \ge 80\sqrt{3}\)

Giá trị nhỏ nhất của tổng chiều dài hàng rào là \(80\sqrt{3}\text{ m}\).

Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra (khi tổng chiều dài hàng rào là nhỏ nhất):

Dấu “=” trong bất đẳng thức Cô-si xảy ra khi các số hạng bằng nhau, tức là:

\(x = 4y\)

Chúng ta có một hệ phương trình:

1) \(xy = 1200\)

2) \(x = 4y\)

Thay (2) vào (1):

\((4y)y = 1200\)

\(4y^2 = 1200\)

\(y^2 = \frac{1200}{4}\)

\(y^2 = 300\)

\(y = \sqrt{300}\) (vì \(y\) là độ dài nên \(y > 0\))

\(y = \sqrt{100 \cdot 3}\)

\(y = 10\sqrt{3}\text{ m}\)

Bây giờ, tìm \(x\) bằng cách thay giá trị của \(y\) vào \(x = 4y\):

\(x = 4 \cdot (10\sqrt{3})\)

\(x = 40\sqrt{3}\text{ m}\)

Kết luận:

Để tổng chiều dài hàng rào cần làm là ít nhất, các kích thước ngoài của khu rào phải là:

• Chiều dài \(x = 40\sqrt{3}\text{ m}\)
• Chiều rộng \(y = 10\sqrt{3}\text{ m}\)

Khi đó, tổng chiều dài hàng rào là \(P = 40\sqrt{3} + 4(10\sqrt{3}) = 40\sqrt{3} + 40\sqrt{3} = 80\sqrt{3}\text{ m}\).

Các em thấy không, bất đẳng thức Cô-si rất hữu ích trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong thực tế. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức này nhé!