***

Bài 5: Tìm 3 phân số

Đề bài: Trung bình cộng của 3 phân số bằng \(11/3\). Nếu tăng phân số thứ nhất lên 23 lần thì trung bình cộng bằng \(61/3\). Nếu tăng phân số thứ 2 lên 7 lần thì trung bình cộng bằng \(13/\). Tìm 3 phân số đã cho.

Phân tích đề bài:

Bài toán này hơi “hóc búa” một chút vì có nhiều thông tin. Chúng ta hãy gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là \(a\), \(b\) và \(c\).

Chúng ta có 3 dữ kiện quan trọng:

1. Trung bình cộng của 3 phân số bằng \(11/3\).
2. Nếu tăng phân số thứ nhất (\(a\)) lên 23 lần thì trung bình cộng mới là \(61/3\).
3. Nếu tăng phân số thứ hai (\(b\)) lên 7 lần thì trung bình cộng mới là \(13/\). (Ở đây có vẻ đề bài bị thiếu số ở mẫu số, cô sẽ giả định là \(13/3\) để bài toán có thể giải được, vì các phân số khác đều có mẫu là 3 nhé các em.)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tính tổng của 3 phân số ban đầu.

Chúng ta biết trung bình cộng của 3 phân số \(a, b, c\) là \(11/3\).

Vậy tổng của 3 phân số đó là:

\(a + b + c = \text{Trung bình cộng} \times \text{Số lượng số hạng}\)

\(a + b + c = (11/3) \times 3\)

\(a + b + c = 11\)

Chúng ta gọi đây là Tổng (1).

Bước 2: Sử dụng dữ kiện thứ hai để tìm phân số thứ nhất (\(a\)).

Nếu tăng phân số thứ nhất (\(a\)) lên 23 lần, tức là phân số mới sẽ là \(23 \times a\). Hai phân số còn lại (\(b\) và \(c\)) giữ nguyên.

Trung bình cộng của \(23 \times a\), \(b\) và \(c\) là \(61/3\).

Vậy tổng mới của chúng là:

\(23 \times a + b + c = (61/3) \times 3\)

\(23 \times a + b + c = 61\)

Chúng ta gọi đây là Tổng (2).

Bây giờ, chúng ta có Tổng (2) và Tổng (1):

Tổng (2): \(23 \times a + b + c = 61\)

Tổng (1): \(a + b + c = 11\)

Chúng ta thấy rằng sự khác biệt giữa hai tổng này chính là phần phân số \(a\) đã được thêm \(22\) lần nữa (\(23 \times a – a = 22 \times a\)).

Lấy Tổng (2) trừ đi Tổng (1):

\((23 \times a + b + c) – (a + b + c) = 61 – 11\)

\(22 \times a = 50\)

\(a = 50 / 22\)

\(a = 25/11\)

Vậy, phân số thứ nhất là \(25/11\).

Bước 3: Sử dụng dữ kiện thứ ba để tìm phân số thứ hai (\(b\)).

Nếu tăng phân số thứ hai (\(b\)) lên 7 lần, tức là phân số mới sẽ là \(7 \times b\). Hai phân số còn lại (\(a\) và \(c\)) giữ nguyên.

Trung bình cộng của \(a\), \(7 \times b\) và \(c\) là \(13/3\). (Theo giả định \(13/\) là \(13/3\)).

Vậy tổng mới của chúng là:

\(a + 7 \times b + c = (13/3) \times 3\)

\(a + 7 \times b + c = 13\)

Chúng ta gọi đây là Tổng (3).

Tương tự như trên, chúng ta so sánh Tổng (3) với Tổng (1):

Tổng (3): \(a + 7 \times b + c = 13\)

Tổng (1): \(a + b + c = 11\)

Sự khác biệt giữa hai tổng này chính là phần phân số \(b\) đã được thêm \(6\) lần nữa (\(7 \times b – b = 6 \times b\)).

Lấy Tổng (3) trừ đi Tổng (1):

\((a + 7 \times b + c) – (a + b + c) = 13 – 11\)

\(6 \times b = 2\)

\(b = 2 / 6\)

\(b = 1/3\)

Vậy, phân số thứ hai là \(1/3\).

Bước 4: Tìm phân số thứ ba (\(c\)).

Chúng ta đã biết:

\(a + b + c = 11\) (Từ Bước 1)

\(a = 25/11\) (Từ Bước 2)

\(b = 1/3\) (Từ Bước 3)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(a\) và \(b\) vào công thức tổng ban đầu để tìm \(c\):

\(25/11 + 1/3 + c = 11\)

Để cộng \(25/11\) và \(1/3\), chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 11 và 3 là 33.

\(25/11 = (25 \times 3) / (11 \times 3) = 75/33\)

\(1/3 = (1 \times 11) / (3 \times 11) = 11/33\)

Vậy:

\(75/33 + 11/33 + c = 11\)

\(86/33 + c = 11\)

\(c = 11 – 86/33\)

Để trừ, chúng ta cũng quy đồng số 11 về mẫu số 33:

\(11 = (11 \times 33) / 33 = 363/33\)

Vậy:

\(c = 363/33 – 86/33\)

\(c = (363 – 86) / 33\)

\(c = 277/33\)

Vậy, phân số thứ ba là \(277/33\).

Kết luận:

Vậy, ba phân số cần tìm là:

Phân số thứ nhất: \(25/11\)

Phân số thứ hai: \(1/3\)

Phân số thứ ba: \(277/33\)

***

Bài 1: Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật

Đề bài: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 120m. Chiều dài hơn chiều rộng 10m. Tính diện tích mảnh đất đó.

Phân tích đề bài:

Đây là bài toán quen thuộc về hình chữ nhật. Chúng ta cần tìm chiều dài và chiều rộng trước, sau đó mới tính được diện tích.

Chúng ta có 2 thông tin chính:

1. Chu vi của hình chữ nhật là 120m.
2. Chiều dài hơn chiều rộng 10m.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tìm nửa chu vi của mảnh đất.

Công thức tính chu vi hình chữ nhật là: \(C = 2 \times (\text{Chiều dài} + \text{Chiều rộng})\).

Vậy, nửa chu vi chính là tổng của chiều dài và chiều rộng.

Nửa chu vi = \(120 \text{ m} / 2\)

Nửa chu vi = \(60 \text{ m}\)

Điều này có nghĩa là: \(\text{Chiều dài} + \text{Chiều rộng} = 60 \text{ m}\).

Bước 2: Tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Chúng ta có một bài toán tổng và hiệu:

Tổng của chiều dài và chiều rộng là \(60 \text{ m}\).

Hiệu của chiều dài và chiều rộng là \(10 \text{ m}\) (\text{Chiều dài} hơn \text{Chiều rộng} \(10 \text{ m}\)).

Để tìm chiều dài (số lớn), chúng ta dùng công thức:

\(\text{Chiều dài} = (\text{Tổng} + \text{Hiệu}) / 2\)

\(\text{Chiều dài} = (60 + 10) / 2\)

\(\text{Chiều dài} = 70 / 2\)

\(\text{Chiều dài} = 35 \text{ m}\)

Để tìm chiều rộng (số bé), chúng ta dùng công thức:

\(\text{Chiều rộng} = (\text{Tổng} – \text{Hiệu}) / 2\)

\(\text{Chiều rộng} = (60 – 10) / 2\)

\(\text{Chiều rộng} = 50 / 2\)

\(\text{Chiều rộng} = 25 \text{ m}\)

(Hoặc chúng ta có thể lấy: \(\text{Chiều rộng} = \text{Chiều dài} – 10 = 35 – 10 = 25 \text{ m}\)).

Bước 3: Tính diện tích mảnh đất.

Công thức tính diện tích hình chữ nhật là: \(\text{Diện tích} = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng}\).

\(\text{Diện tích} = 35 \text{ m} \times 25 \text{ m}\)

\(\text{Diện tích} = 875 \text{ m}^2\)

Kết luận:

Diện tích của mảnh đất hình chữ nhật là \(875 \text{ m}^2\).

***

Cô hy vọng qua những hướng dẫn chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách giải hai bài toán trên! Cố gắng luyện tập thường xuyên để giỏi Toán hơn nữa nhé!