Chào em học sinh!

Thầy/cô rất vui khi em đã đặt câu hỏi này. Đây là một bài toán cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình lượng giác lớp 9, giúp em củng cố các định nghĩa và đẳng thức cơ bản.

Đề bài của em có thể được hiểu là: “Cho \(a = 30^\circ\). Hãy tính giá trị của biểu thức \( \tan a \cdot \cot a \). Sau đó, kiểm tra xem liệu kết quả đó có bằng 2 hay không.”

Chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài toán này theo hai cách nhé:

Với \(a = 30^\circ\), chúng ta sẽ nhớ lại các giá trị lượng giác cơ bản của góc đặc biệt này:

• \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)

• \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Từ đó, chúng ta có thể tính \( \tan 30^\circ \) và \( \cot 30^\circ \):

Chúng ta biết rằng: \( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \)

Và: \( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \)

Áp dụng cho \(a = 30^\circ\):

\( \tan 30^\circ = \frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

\( \cot 30^\circ = \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính tích \( \tan a \cdot \cot a \):

\( \tan 30^\circ \cdot \cot 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1 \)

Vậy, khi \( a = 30^\circ \), giá trị của biểu thức \( \tan a \cdot \cot a \) là \(1\).

Đây là cách mà thầy/cô muốn em nắm vững, vì nó cho thấy một tính chất tổng quát của hàm tan và cot.

Như chúng ta đã nhắc lại ở trên, theo định nghĩa của hàm tan và cot:

\( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \)

\( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \)

(Lưu ý: Các biểu thức này chỉ có nghĩa khi \( \cos a \ne 0 \) để \( \tan a \) xác định, và \( \sin a \ne 0 \) để \( \cot a \) xác định. Đối với \( a = 30^\circ \), cả \( \sin 30^\circ \) và \( \cos 30^\circ \) đều khác 0, nên chúng ta hoàn toàn có thể tính được.)

Bây giờ, chúng ta tính tích \( \tan a \cdot \cot a \):

\( \tan a \cdot \cot a = \left( \frac{\sin a}{\cos a} \right) \cdot \left( \frac{\cos a}{\sin a} \right) \)

Chúng ta có thể rút gọn tử số và mẫu số:

\( \tan a \cdot \cot a = \frac{\sin a \cdot \cos a}{\cos a \cdot \sin a} \)

\( \tan a \cdot \cot a = 1 \)

Như vậy, với bất kỳ góc \( a \) nào mà cả \( \tan a \) và \( \cot a \) đều xác định, thì tích của chúng luôn bằng \(1\). Đây là một đẳng thức lượng giác cơ bản mà em cần ghi nhớ!

Qua cả hai cách giải, chúng ta đều thấy rằng giá trị của biểu thức \( \tan a \cdot \cot a \) là \(1\), không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của \(a\) (miễn là \( \tan a \) và \( \cot a \) xác định).

Do đó, khi em viết “tính tan a nhân cot a = 2”, thì kết quả của phép tính là \(1\), còn số 2 là một giá trị khác. Tức là: \( \tan a \cdot \cot a = 1 \ne 2 \).

Có thể em muốn kiểm tra xem liệu biểu thức đó có bằng 2 hay không, và câu trả lời là không, nó luôn bằng \(1\).

Hy vọng phần giải thích chi tiết này đã giúp em hiểu rõ hơn về bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!

Chúc em học tốt!