Chào các em học sinh lớp 9!
Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về năng suất khá quen thuộc trong chương trình Đại số 9 nhé. Các em hãy đọc kỹ đề bài và theo dõi từng bước giải chi tiết dưới đây.

Đề bài:

Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 200 sản phẩm với năng suất dự định. Thực tế mỗi ngày họ làm tăng thêm 10 sản phẩm nên tổ đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội làm bao nhiêu sản phẩm?

—

Bài giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp lập phương trình. Các em hãy chú ý các bước sau:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện thích hợp.

Gọi năng suất dự định mỗi ngày của tổ sản xuất là \(x\) (sản phẩm/ngày).

Điều kiện: \(x > 0\) và \(x\) phải là số nguyên vì đây là số sản phẩm làm được trong một ngày.

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng theo ẩn.

Với tổng số sản phẩm cần làm là 200:

• Thời gian dự định để hoàn thành kế hoạch là: \( \frac{200}{x} \) (ngày).
• Thực tế, mỗi ngày tổ làm tăng thêm 10 sản phẩm, vậy năng suất thực tế là: \( x + 10 \) (sản phẩm/ngày).
• Thời gian thực tế để hoàn thành kế hoạch là: \( \frac{200}{x + 10} \) (ngày).

Bước 3: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng.

Theo đề bài, tổ đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 ngày. Điều này có nghĩa là thời gian dự định lớn hơn thời gian thực tế là 1 ngày.

Ta có phương trình:

\( \frac{200}{x} – \frac{200}{x + 10} = 1 \)

Bước 4: Giải phương trình.

Để giải phương trình này, trước tiên chúng ta cần quy đồng mẫu số:

\( \frac{200(x + 10)}{x(x + 10)} – \frac{200x}{x(x + 10)} = 1 \)

Khử mẫu và rút gọn tử số:

\( 200(x + 10) – 200x = x(x + 10) \)

\( 200x + 2000 – 200x = x^2 + 10x \)

\( 2000 = x^2 + 10x \)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai:

\( x^2 + 10x – 2000 = 0 \)

Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

Xác định các hệ số: \(a = 1\), \(b = 10\), \(c = -2000\).

Tính biệt thức \( \Delta \):

\( \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \Delta = 10^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2000) \)

\( \Delta = 100 + 8000 \)

\( \Delta = 8100 \)

Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 + \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 90}{2} = \frac{80}{2} = 40 \)

\( x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 – \sqrt{8100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 – 90}{2} = \frac{-100}{2} = -50 \)

Bước 5: So sánh với điều kiện và kết luận.

Kiểm tra các nghiệm vừa tìm được với điều kiện của ẩn \(x\).

• Nghiệm \( x_1 = 40 \): Thỏa mãn điều kiện \(x > 0\) và là số nguyên.
• Nghiệm \( x_2 = -50 \): Không thỏa mãn điều kiện \(x > 0\) (vì năng suất không thể là số âm). Do đó, nghiệm này bị loại.

Vậy, năng suất dự định mỗi ngày của tổ sản xuất là 40 sản phẩm.

Kiểm tra lại:

• Theo kế hoạch: 40 sản phẩm/ngày. Thời gian dự định: \( \frac{200}{40} = 5 \) ngày.
• Thực tế: \( 40 + 10 = 50 \) sản phẩm/ngày. Thời gian thực tế: \( \frac{200}{50} = 4 \) ngày.
• Thời gian thực tế sớm hơn thời gian dự định là \( 5 – 4 = 1 \) ngày. Điều này hoàn toàn khớp với đề bài.

Kết luận:

Theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất làm được 40 sản phẩm.

Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải bài toán năng suất bằng cách lập phương trình nhé! Chúc các em học tốt!