Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thực tế rất thú vị. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng kiến thức về hệ phương trình và phương trình bậc hai để tìm ra lời giải. Hãy cùng đọc kỹ đề bài nhé:

Đề bài: Trong phòng họp có tất cả 80 ghế được xếp thành nhiều dãy, số ghế ở các dãy là như nhau. Nếu bớt đi 2 dãy ghế và tăng 2 ghế trong mỗi dãy còn lại thì tổng số ghế vẫn như cũ. Hỏi ban đầu có bao nhiêu dãy ghế và trong mỗi dãy có bao nhiêu ghế?

Chúng ta hãy bắt đầu giải bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Phân tích và đặt ẩn số

Để giải quyết bài toán này, điều đầu tiên chúng ta cần làm là đặt các ẩn số cho những đại lượng mà chúng ta cần tìm.

• Gọi số dãy ghế ban đầu là \(x\) (dãy).
• Gọi số ghế trong mỗi dãy ban đầu là \(y\) (ghế).

Điều kiện:

• Số dãy ghế và số ghế trong mỗi dãy phải là số nguyên dương. Tức là: \(x \in \mathbb{N}^\) và \(y \in \mathbb{N}^\).
• Ngoài ra, theo đề bài, nếu bớt đi 2 dãy ghế, số dãy ghế còn lại là \(x – 2\). Điều này có nghĩa là số dãy ghế ban đầu phải lớn hơn 2. Tức là: \(x > 2\).

Bước 2: Lập các phương trình theo đề bài

Dựa vào các thông tin đã cho trong đề bài, chúng ta sẽ lập các phương trình:

1. Dựa vào tổng số ghế ban đầu:

Tổng số ghế trong phòng họp là 80 ghế. Số ghế này được tính bằng số dãy ghế nhân với số ghế trong mỗi dãy.

Vậy ta có phương trình thứ nhất:

\(x \cdot y = 80\) (1)

2. Dựa vào sự thay đổi số dãy và số ghế:

Nếu bớt đi 2 dãy ghế, số dãy ghế còn lại là: \(x – 2\) (dãy).

Nếu tăng 2 ghế trong mỗi dãy còn lại, số ghế trong mỗi dãy lúc này là: \(y + 2\) (ghế).

Tổng số ghế lúc này vẫn không thay đổi, tức là vẫn là 80 ghế.

Vậy ta có phương trình thứ hai:

\((x – 2)(y + 2) = 80\) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta có một hệ phương trình gồm hai ẩn số \(x\) và \(y\):

\(\begin{cases} xy = 80 \quad (1) \\ (x – 2)(y + 2) = 80 \quad (2) \end{cases}\)

Từ phương trình (1), chúng ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\(y = \frac{80}{x}\) (3)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(y\) từ phương trình (3) vào phương trình (2):

\((x – 2)\left(\frac{80}{x} + 2\right) = 80\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân phá ngoặc và rút gọn phương trình này:

\(x \cdot \frac{80}{x} + x \cdot 2 – 2 \cdot \frac{80}{x} – 2 \cdot 2 = 80\)

\(80 + 2x – \frac{160}{x} – 4 = 80\)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế và rút gọn:

\(2x – \frac{160}{x} – 4 = 0\)

Để loại bỏ mẫu số \(x\), chúng ta nhân tất cả các hạng tử với \(x\) (chúng ta biết \(x \neq 0\) vì \(x\) là số dãy ghế):

\(2x \cdot x – \frac{160}{x} \cdot x – 4 \cdot x = 0 \cdot x\)

\(2x^2 – 160 – 4x = 0\)

Sắp xếp lại phương trình theo dạng chuẩn của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\(2x^2 – 4x – 160 = 0\)

Chúng ta có thể chia cả hai vế cho 2 để làm cho phương trình đơn giản hơn:

\(x^2 – 2x – 80 = 0\)

Bây giờ chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai này. Chúng ta có thể dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ở đây, thầy sẽ dùng công thức nghiệm thu gọn:

Hệ số: \(a = 1, b’ = -1, c = -80\)

Tính delta phẩy (\(\Delta’\)):

\(\Delta’ = (b’)^2 – ac = (-1)^2 – 1 \cdot (-80)\)

\(\Delta’ = 1 + 80 = 81\)

\(\sqrt{\Delta’} = \sqrt{81} = 9\)

Tìm các nghiệm của \(x\):

\(x_1 = \frac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-(-1) – 9}{1} = \frac{1 – 9}{1} = -8\)

\(x_2 = \frac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-(-1) + 9}{1} = \frac{1 + 9}{1} = 10\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Chúng ta cần kiểm tra lại các nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) với các điều kiện đã đặt ra ở Bước 1:

• \(x\) phải là số nguyên dương.
• \(x > 2\).

Với \(x_1 = -8\): Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện \(x\) là số nguyên dương (số dãy ghế không thể là số âm). Do đó, chúng ta loại nghiệm này.

Với \(x_2 = 10\): Nghiệm này thỏa mãn cả hai điều kiện (là số nguyên dương và \(10 > 2\)). Do đó, chúng ta chọn nghiệm này.

Vậy, số dãy ghế ban đầu là \(x = 10\) dãy.

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm số ghế trong mỗi dãy ban đầu bằng cách thay \(x = 10\) vào phương trình (3):

\(y = \frac{80}{x} = \frac{80}{10} = 8\)

Số ghế trong mỗi dãy ban đầu là \(y = 8\) ghế. Nghiệm này thỏa mãn điều kiện \(y\) là số nguyên dương.

Bước 5: Kiểm tra lại (để chắc chắn)

• Ban đầu có 10 dãy, mỗi dãy 8 ghế. Tổng số ghế: \(10 \cdot 8 = 80\) ghế. (Đúng)
• Bớt 2 dãy, còn \(10 – 2 = 8\) dãy.
• Tăng 2 ghế mỗi dãy, mỗi dãy có \(8 + 2 = 10\) ghế.
• Tổng số ghế lúc sau: \(8 \cdot 10 = 80\) ghế. (Đúng)

Kết quả hoàn toàn khớp với đề bài.

Kết luận:

Vậy, ban đầu trong phòng họp có 10 dãy ghế và trong mỗi dãy có 8 ghế.

Các em thấy không, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích, đặt ẩn và giải hệ phương trình một cách cẩn thận, thì mọi thứ đều trở nên rõ ràng. Hãy luyện tập thêm để nắm vững dạng bài này nhé!

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.