Câu 45. Xác định các hệ số a, b để đường thẳng ax+ by = 4 đi qua hai điểm A (4 ; 3) và B (-6 ; -7)

Để đường thẳng \(ax + by = 4\) đi qua hai điểm A và B, thì tọa độ của hai điểm này phải thỏa mãn phương trình đường thẳng.

Bước 1: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng.

Điểm A có tọa độ (4; 3). Thay \(x = 4\) và \(y = 3\) vào phương trình \(ax + by = 4\), ta được:

\(a(4) + b(3) = 4\)
\(4a + 3b = 4\) (1)

Bước 2: Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng.

Điểm B có tọa độ (-6; -7). Thay \(x = -6\) và \(y = -7\) vào phương trình \(ax + by = 4\), ta được:

\(a(-6) + b(-7) = 4\)
\(-6a – 7b = 4\) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm a và b.

Ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
4a + 3b = 4 \\
-6a – 7b = 4
\end{cases}
\]

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ này. Ở đây, cô sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số.

Nhân phương trình (1) với 3 và phương trình (2) với 2 để hệ số của \(a\) đối nhau:

Nhân (1) với 3: \(3(4a + 3b) = 3(4) \Rightarrow 12a + 9b = 12\) (3)

Nhân (2) với 2: \(2(-6a – 7b) = 2(4) \Rightarrow -12a – 14b = 8\) (4)

Cộng phương trình (3) và (4) vế theo vế:

\((12a + 9b) + (-12a – 14b) = 12 + 8\)
\(12a + 9b – 12a – 14b = 20\)
\(-5b = 20\)
\(b = \frac{20}{-5}\)
\(b = -4\)

Thay \(b = -4\) vào phương trình (1):

\(4a + 3(-4) = 4\)
\(4a – 12 = 4\)
\(4a = 4 + 12\)
\(4a = 16\)
\(a = \frac{16}{4}\)
\(a = 4\)

Vậy, các hệ số cần tìm là \(a = 4\) và \(b = -4\).

Câu 47. Hà và Mai bốc thăm số thứ tự để biểu diễn trong một cuộc thi. Biết hai số mà các bạn bốc thăm được có hiệu là số tự nhiên bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 và tổng là số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 6 và Hà thi sau Mai. Em hãy tìm số thứ tự thi của mỗi bạn.

Bước 1: Xác định hiệu của hai số thứ tự.

Số tự nhiên bé nhất có hai chữ số là 10.

Các số có hai chữ số chia hết cho 3 là các bội của 3 bắt đầu từ 12.

Số tự nhiên bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3 là 12.

Vậy, hiệu của hai số thứ tự là 12.

Bước 2: Xác định tổng của hai số thứ tự.

Số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số là 99.

Các số có hai chữ số chia hết cho 6 là các bội của 6 nhỏ hơn hoặc bằng 99.

Để tìm số lớn nhất, ta lấy 99 chia cho 6: \(99 \div 6 = 16\) dư 3.

Vậy, số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 6 là \(99 – 3 = 96\).

Vậy, tổng của hai số thứ tự là 96.

Bước 3: Gọi các ẩn và lập hệ phương trình.

Gọi số thứ tự của Hà là \(S_H\) và số thứ tự của Mai là \(S_M\).

Theo đề bài, Hà thi sau Mai, điều này có nghĩa là số thứ tự của Hà lớn hơn số thứ tự của Mai.

Hiệu của hai số thứ tự là 12, mà số thứ tự của Hà lớn hơn nên ta có:

\(S_H – S_M = 12\) (1)

Tổng của hai số thứ tự là 96:

\(S_H + S_M = 96\) (2)

Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm \(S_H\) và \(S_M\).

Ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
S_H – S_M = 12 \\
S_H + S_M = 96
\end{cases}
\]

Sử dụng phương pháp cộng đại số, cộng hai phương trình vế theo vế:

\((S_H – S_M) + (S_H + S_M) = 12 + 96\)
\(2S_H = 108\)
\(S_H = \frac{108}{2}\)
\(S_H = 54\)

Thay \(S_H = 54\) vào phương trình (2):

\(54 + S_M = 96\)
\(S_M = 96 – 54\)
\(S_M = 42\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện đề bài.

Số thứ tự của Hà là 54, số thứ tự của Mai là 42.

Hà thi sau Mai (54 > 42), điều này đúng.

Hiệu: \(54 – 42 = 12\). 12 là số tự nhiên bé nhất có hai chữ số chia hết cho 3. Đúng.

Tổng: \(54 + 42 = 96\). 96 là số tự nhiên lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 6. Đúng.

Kết luận:

Số thứ tự thi của Mai là 42.

Số thứ tự thi của Hà là 54.