Đề bài của chúng ta là rút gọn phân thức sau:

\( \frac{x^2+3xy+2y^2}{x^3+2x^2y-xy^2-2y^3} \)

Để rút gọn được phân thức này, chúng ta cần phân tích cả tử số và mẫu số thành nhân tử. Chúng ta sẽ làm từng bước một.

Bước 1: Phân tích tử số thành nhân tử

Tử số là một tam thức bậc hai đối với \(x\), với hệ số của \(y\) là các hằng số. Ta có thể nhóm các hạng tử hoặc tìm nghiệm để phân tích.

Ta có thể tách hạng tử \(3xy\) thành \(xy + 2xy\):

\( x^2+3xy+2y^2 = x^2 + xy + 2xy + 2y^2 \)

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử lại:

\( = (x^2 + xy) + (2xy + 2y^2) \)

Đặt nhân tử chung ra ngoài mỗi nhóm:

\( = x(x+y) + 2y(x+y) \)

Ta thấy có nhân tử chung là \((x+y)\). Đặt \((x+y)\) ra ngoài:

\( = (x+y)(x+2y) \)

Vậy, tử số được phân tích thành nhân tử là \((x+y)(x+2y)\).

Bước 2: Phân tích mẫu số thành nhân tử

Mẫu số là một đa thức bậc ba. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm hạng tử.

\( x^3+2x^2y-xy^2-2y^3 \)

Chúng ta nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối:

\( = (x^3+2x^2y) + (-xy^2-2y^3) \)

Đặt nhân tử chung ra ngoài mỗi nhóm:

\( = x^2(x+2y) – y^2(x+2y) \)

Ta thấy có nhân tử chung là \((x+2y)\). Đặt \((x+2y)\) ra ngoài:

\( = (x+2y)(x^2-y^2) \)

Bây giờ, ta nhận thấy \((x^2-y^2)\) là hiệu hai bình phương, có công thức là \((x-y)(x+y)\). Thay vào biểu thức:

\( = (x+2y)(x-y)(x+y) \)

Vậy, mẫu số được phân tích thành nhân tử là \((x+2y)(x-y)(x+y)\).

Bước 3: Rút gọn phân thức

Bây giờ, chúng ta viết lại phân thức với tử và mẫu đã được phân tích thành nhân tử:

\( \frac{(x+y)(x+2y)}{(x+2y)(x-y)(x+y)} \)

Chúng ta thấy có các nhân tử chung ở cả tử và mẫu là \((x+y)\) và \((x+2y)\).

Để phân thức có nghĩa, điều kiện là mẫu số phải khác 0, tức là:

\( (x+2y)(x-y)(x+y) \neq 0 \)

Điều này có nghĩa là \( x+2y \neq 0 \), \( x-y \neq 0 \), và \( x+y \neq 0 \). Hay \( x \neq -2y \), \( x \neq y \), và \( x \neq -y \).

Với điều kiện trên, chúng ta có thể triệt tiêu các nhân tử chung:

\( \frac{\cancel{(x+y)}\cancel{(x+2y)}}{\cancel{(x+2y)}(x-y)\cancel{(x+y)}} \)

Vậy, phân thức rút gọn là:

\( \frac{1}{x-y} \)

Kết luận

Phân thức đã cho rút gọn là \(\frac{1}{x-y}\), với điều kiện \( x \neq y, x \neq -y, x \neq -2y \).

Các em thấy đấy, việc phân tích đa thức thành nhân tử là một kỹ năng rất quan trọng để giải quyết các bài toán rút gọn. Các em về nhà luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự nhé!