Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thực tế rất thú vị, giúp các em ứng dụng kiến thức về hàm số bậc hai vào việc kinh doanh. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, vì vậy hãy chú ý theo dõi nhé!

ĐỀ BÀI: Một cửa hàng dự định bán bưởi với giá mỗi quả là 50000 đồng. Theo khảo sát, với giá bán này thì cửa hàng bán được khoảng 40 quả bưởi mỗi ngày. Cửa hàng dự định giảm giá; ước tính nếu cửa hàng giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm 20 quả. Xác định giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày lớn nhất, biết rằng giá vốn ban đầu mỗi quả là 20000 đồng.

—

PHÂN TÍCH ĐỀ BÀI VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định được hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận theo giá bán (hoặc theo số lần giảm giá), sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Bước 1: Đặt ẩn số và xây dựng các hàm số liên quan.

Bài toán này liên quan đến việc giảm giá nhiều lần, nên ta có thể đặt ẩn là số lần giảm giá.

Gọi \(x\) là số lần cửa hàng giảm giá, với mỗi lần giảm là 5000 đồng. (Điều kiện: \(x \ge 0\)).

Khi đó:

1. Giá bán mỗi quả bưởi (theo \(x\)):

Ban đầu là 50000 đồng. Mỗi lần giảm \(x\) sẽ giảm \(5000x\) đồng.

Giá bán mỗi quả bưởi là: \(P(x) = 50000 – 5000x\) (đồng).

2. Số lượng bưởi bán được mỗi ngày (theo \(x\)):

Ban đầu bán được 40 quả. Mỗi lần giảm giá, số lượng tăng thêm 20 quả.

Số lượng bưởi bán được là: \(Q(x) = 40 + 20x\) (quả).

3. Giá vốn mỗi quả bưởi:

Giá vốn không đổi là \(C = 20000\) (đồng).

4. Lợi nhuận của mỗi quả bưởi:

Lợi nhuận mỗi quả = Giá bán – Giá vốn

\(L(x) = P(x) – C = (50000 – 5000x) – 20000 = 30000 – 5000x\) (đồng).

Lưu ý: Để cửa hàng có lợi nhuận, giá bán phải lớn hơn hoặc bằng giá vốn. Tức là \(P(x) \ge C\).

\(50000 – 5000x \ge 20000\)

\(30000 \ge 5000x\)

\(x \le 6\)

Vậy, điều kiện cho \(x\) là \(0 \le x \le 6\).

5. Tổng lợi nhuận mỗi ngày của cửa hàng (theo \(x\)):

Tổng lợi nhuận = (Lợi nhuận mỗi quả) \(\times\) (Số lượng bán được)

\(D(x) = L(x) \times Q(x)\)

\(D(x) = (30000 – 5000x) \times (40 + 20x)\)

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm tổng lợi nhuận \(D(x)\).

Bây giờ chúng ta sẽ nhân phá biểu thức của \(D(x)\) để đưa nó về dạng hàm số bậc hai:

\(D(x) = 30000 \times 40 + 30000 \times 20x – 5000x \times 40 – 5000x \times 20x\)

\(D(x) = 1200000 + 600000x – 200000x – 100000x^2\)

\(D(x) = -100000x^2 + 400000x + 1200000\)

Đây là một hàm số bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a = -100000\), \(b = 400000\), \(c = 1200000\).

Vì hệ số \(a = -100000 < 0\), đồ thị của hàm số là một parabol quay bề lõm xuống dưới, do đó nó có một điểm cực đại (giá trị lớn nhất) tại đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh của parabol được tính bằng công thức \(x = -b / (2a)\).

\(x = -(400000) / (2 \times (-100000))\)

\(x = -400000 / (-200000)\)

\(x = 2\)

Giá trị \(x = 2\) này thỏa mãn điều kiện \(0 \le x \le 6\).

Vậy, để đạt được lợi nhuận cao nhất, cửa hàng cần giảm giá 2 lần.

Bước 3: Xác định giá bán và tổng lợi nhuận lớn nhất.

Với \(x = 2\), ta có:

1. Giá bán mỗi quả bưởi tối ưu:

\(P(2) = 50000 – 5000 \times 2\)

\(P(2) = 50000 – 10000\)

\(P(2) = 40000\) (đồng).

2. Số lượng bưởi bán được với giá tối ưu:

\(Q(2) = 40 + 20 \times 2\)

\(Q(2) = 40 + 40\)

\(Q(2) = 80\) (quả).

3. Tổng lợi nhuận lớn nhất mà cửa hàng thu được:

Ta thay \(x = 2\) vào hàm \(D(x)\):

\(D(2) = (30000 – 5000 \times 2) \times (40 + 20 \times 2)\)

\(D(2) = (30000 – 10000) \times (40 + 40)\)

\(D(2) = 20000 \times 80\)

\(D(2) = 1600000\) (đồng).

—

KẾT LUẬN:

Vậy, để cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày lớn nhất, cửa hàng nên bán mỗi quả bưởi với giá 40000 đồng. Khi đó, cửa hàng sẽ bán được 80 quả bưởi và thu về tổng lợi nhuận là 1.600.000 đồng mỗi ngày.

Các em thấy không, việc áp dụng Toán học vào thực tế rất hữu ích, phải không nào? Bài toán này không chỉ giúp chúng ta ôn lại kiến thức về hàm số bậc hai mà còn cho chúng ta một cái nhìn thực tế về cách tối ưu hóa lợi nhuận trong kinh doanh. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!