Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán rất hay về phân số. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải biết cách đặt ẩn, lập phương trình và rút gọn phân số để tìm ra kết quả cuối cùng. Nào, chúng ta cùng đọc kỹ đề bài nhé!

Đề bài: Tìm 1 phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì ta được phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu.

Phân tích đề bài và các bước giải:

Để giải quyết bài toán này một cách khoa học và chính xác, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Gọi phân số cần tìm: Chúng ta sẽ sử dụng biến để đại diện cho tử số và mẫu số của phân số.
2. Biểu diễn phân số mới: Dựa vào điều kiện “cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số”, chúng ta sẽ viết được biểu thức cho phân số mới.
3. Lập phương trình: Từ điều kiện “phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu”, chúng ta sẽ thiết lập một phương trình.
4. Giải phương trình: Tìm mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của phân số ban đầu.
5. Kiểm tra điều kiện “tối giản”: Dựa vào mối quan hệ tìm được, chúng ta sẽ xác định phân số cuối cùng và đảm bảo nó là phân số tối giản.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi phân số cần tìm.
Gọi phân số tối giản cần tìm là \( \frac{a}{b} \).
Trong đó, \( a \) và \( b \) là các số nguyên. Vì đây là phân số, chúng ta thường xét \( b \neq 0 \). Để tiện cho việc tính toán và hiểu bài, chúng ta có thể giả định \( a \) và \( b \) là các số nguyên dương.
Điều kiện quan trọng “tối giản” có nghĩa là ước chung lớn nhất của \( a \) và \( b \) phải là 1, hay \( ƯCLN(a, b) = 1 \).

Bước 2: Biểu diễn phân số mới.
Theo đề bài, chúng ta thực hiện các phép tính sau để được phân số mới:

• Cộng mẫu số vào tử số: Tử số mới sẽ là \( a + b \).
• Cộng mẫu số vào mẫu số: Mẫu số mới sẽ là \( b + b = 2b \).

Vậy, phân số mới mà chúng ta nhận được là \( \frac{a+b}{2b} \).

Bước 3: Lập phương trình.
Đề bài cho biết phân số mới này “lớn gấp 2 lần phân số ban đầu”. Chúng ta có thể viết điều này thành một phương trình toán học như sau:
\( \frac{a+b}{2b} = 2 \times \frac{a}{b} \)

Bước 4: Giải phương trình.
Bây giờ, chúng ta sẽ đi tìm mối liên hệ giữa \( a \) và \( b \) bằng cách giải phương trình vừa lập:
\( \frac{a+b}{2b} = \frac{2a}{b} \)

Để loại bỏ mẫu số và đơn giản hóa phương trình, chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với \( 2b \) (vì \( b \neq 0 \) nên \( 2b \neq 0 \)):
\( (a+b) = \frac{2a}{b} \times (2b) \)
\( a+b = 4a \)

Tiếp theo, chúng ta sẽ chuyển các số hạng chứa \( a \) về một vế và \( b \) về vế còn lại để tìm ra mối quan hệ rõ ràng hơn:
\( b = 4a – a \)
\( b = 3a \)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện “tối giản”.
Chúng ta đã tìm được mối liên hệ là \( b = 3a \). Bây giờ chúng ta sẽ thay \( b \) vào phân số ban đầu \( \frac{a}{b} \):
\( \frac{a}{b} = \frac{a}{3a} \)

Để phân số này có nghĩa, \( a \) phải khác 0 (nếu \( a=0 \) thì \( b=0 \), phân số không xác định).
Chúng ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho \( a \):
\( \frac{a}{3a} = \frac{1}{3} \)

Phân số \( \frac{1}{3} \) là một phân số tối giản vì ước chung lớn nhất của 1 và 3 là 1, tức là \( ƯCLN(1, 3) = 1 \). Điều này hoàn toàn phù hợp với yêu cầu của đề bài.

Kiểm tra lại kết quả (quan trọng!):
Chúng ta đã tìm được phân số là \( \frac{1}{3} \). Bây giờ hãy kiểm tra xem nó có thỏa mãn điều kiện đề bài không nhé:
Phân số ban đầu: \( \frac{1}{3} \).
Cộng mẫu số (3) vào tử số (1): Tử số mới là \( 1+3 = 4 \).
Cộng mẫu số (3) vào mẫu số (3): Mẫu số mới là \( 3+3 = 6 \).
Phân số mới nhận được là \( \frac{4}{6} \).
Rút gọn phân số mới: \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
So sánh phân số mới với 2 lần phân số ban đầu:
\( 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).
Chúng ta thấy rằng phân số mới \( \frac{2}{3} \) đúng bằng 2 lần phân số ban đầu \( \frac{1}{3} \). Vậy, lời giải của chúng ta là chính xác!

Kết luận:

Phân số tối giản cần tìm là \( \frac{1}{3} \).

Thầy/cô hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy nhớ rằng, việc đọc kỹ đề bài, phân tích từng yêu cầu và trình bày bài giải một cách logic là chìa khóa để chinh phục mọi bài toán Toán học. Chúc các em luôn học tốt và yêu thích môn Toán nhé!