cho tan anpha=√2 với 0° nhỏ hơn anpha nhỏ hơn 90° .Tính A =sin anpha -cos anpha/…
Bài toán: Cho \(\tan \alpha = \sqrt{2}\) với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\). Tính giá trị của biểu thức A = \(\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha + 2 \sin \alpha}\).
Phân tích bài toán:
Đề bài cho chúng ta giá trị của \(\tan \alpha\) và yêu cầu tính một biểu thức chứa \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\). Vì \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ nhất (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)), nên cả \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) đều dương. Đây là một thông tin quan trọng giúp chúng ta xác định dấu của các giá trị lượng giác sau này.
Các bước giải:
Bước 1: Tìm \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) từ \(\tan \alpha\).
Chúng ta biết mối liên hệ giữa \(\tan \alpha\) và \(\cos \alpha\) là: \(\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\).
Thay \(\tan \alpha = \sqrt{2}\) vào công thức này:
\((\sqrt{2})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\)
\(2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\)
\(3 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\)
\(\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}\)
Vì \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), nên \(\cos \alpha > 0\). Do đó:
\(\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Tiếp theo, chúng ta tìm \(\sin \alpha\) bằng công thức \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
\(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha\)
\(\sin \alpha = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)
Kiểm tra lại: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (\frac{\sqrt{6}}{3})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{6}{9} + \frac{3}{9} = \frac{9}{9} = 1\). Điều này là đúng.
Bước 2: Thay \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) vào biểu thức A.
Biểu thức A là: A = \(\frac{\sin \alpha – \cos \alpha}{\sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha + 2 \sin \alpha}\)
Ta cần tính \(\sin^3 \alpha\) và \(\cos^3 \alpha\) trước.
\(\sin^3 \alpha = (\sin \alpha)^3 = (\frac{\sqrt{6}}{3})^3 = \frac{(\sqrt{6})^3}{3^3} = \frac{6\sqrt{6}}{27} = \frac{2\sqrt{6}}{9}\)
\(\cos^3 \alpha = (\cos \alpha)^3 = (\frac{\sqrt{3}}{3})^3 = \frac{(\sqrt{3})^3}{3^3} = \frac{3\sqrt{3}}{27} = \frac{\sqrt{3}}{9}\)
Bây giờ, chúng ta thay các giá trị vào tử số và mẫu số của biểu thức A.
Tử số:
\(\sin \alpha – \cos \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3} – \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{3}}{3}\)
Mẫu số:
\(\sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha + 2 \sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{9} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{9} + 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(= \frac{2\sqrt{6}}{9} + \frac{3\sqrt{3}}{9} + \frac{6\sqrt{6}}{9}\)
\(= \frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{3} + 6\sqrt{6}}{9}\)
\(= \frac{8\sqrt{6} + 3\sqrt{3}}{9}\)
Bước 3: Tính giá trị của biểu thức A.
\(A = \frac{\frac{\sqrt{6} – \sqrt{3}}{3}}{\frac{8\sqrt{6} + 3\sqrt{3}}{9}}\)
\(A = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{9}{8\sqrt{6} + 3\sqrt{3}}\)
\(A = \frac{3(\sqrt{6} – \sqrt{3})}{8\sqrt{6} + 3\sqrt{3}}\)
Để đơn giản biểu thức này, chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số, là \(8\sqrt{6} – 3\sqrt{3}\).
\(A = \frac{3(\sqrt{6} – \sqrt{3})(8\sqrt{6} – 3\sqrt{3})}{(8\sqrt{6} + 3\sqrt{3})(8\sqrt{6} – 3\sqrt{3})}\)
Tính tử số:
\(3(\sqrt{6} – \sqrt{3})(8\sqrt{6} – 3\sqrt{3})\)
\(= 3 [ \sqrt{6}(8\sqrt{6}) + \sqrt{6}(-3\sqrt{3}) – \sqrt{3}(8\sqrt{6}) – \sqrt{3}(-3\sqrt{3}) ]\)
\(= 3 [ 8 \cdot 6 – 3\sqrt{18} – 8\sqrt{18} + 3 \cdot 3 ]\)
\(= 3 [ 48 – 11\sqrt{18} + 9 ]\)
\(= 3 [ 57 – 11 \cdot 3\sqrt{2} ]\)
\(= 3 [ 57 – 33\sqrt{2} ]\)
\(= 171 – 99\sqrt{2}\)
Tính mẫu số:
\((8\sqrt{6} + 3\sqrt{3})(8\sqrt{6} – 3\sqrt{3}) = (8\sqrt{6})^2 – (3\sqrt{3})^2\)
\(= 64 \cdot 6 – 9 \cdot 3\)
\(= 384 – 27\)
\(= 357\)
Kết hợp tử số và mẫu số:
\(A = \frac{171 – 99\sqrt{2}}{357}\)
Chúng ta có thể rút gọn biểu thức này bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất. Cả 171, 99 và 357 đều chia hết cho 3.
\(171 / 3 = 57\)
\(99 / 3 = 33\)
\(357 / 3 = 119\)
\(A = \frac{57 – 33\sqrt{2}}{119}\)
Vậy, giá trị của biểu thức A là \(\frac{57 – 33\sqrt{2}}{119}\).
Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(tan \alpha = sin \alpha/cos \alpha = \sqrt{2} > 0\)
Mà \(0^o < \alpha < 90^o\)
\(-> sin \alpha > 0 ; cos \alpha > 0\)
\(A = (sin \alpha – cos \alpha)/(sin^3 \alpha + 3 cos^3 \alpha + 2 sin \alpha)\)
\(A = ((sin \alpha – cos \alpha)/(cos^3 \alpha))/((sin^3 \alpha + 3 cos^3 + 2sin \alpha)/(cos^3 \alpha))\)
\(A = (tan \alpha . 1/(cos^2 \alpha) – 1/(cos^2 \alpha))/(tan^3 \alpha + 3 + 2 tan \alpha . 1/(cos^2 \alpha)\)
Mà \(1/(cos^2 \alpha) = 1 + tan^2 \alpha\)
\(-> A = (tan \alpha . (1 + tan^2 \alpha) – (1 + tan^2 \alpha))/(tan^3 \alpha + 3 + 2 tan \alpha . (1 + tan^2 \alpha))\)
\(-> A = (\sqrt{2} . (1 + 2) – (1 + 2))/(2\sqrt{2} + 3 + 2 . \sqrt{2} . (1 + 2))\)
\(-> A = (3\sqrt{2} – 3)/(8\sqrt{2} + 3)\)
Vậy …
\(\tan \alpha = \sqrt{2} \Rightarrow \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \tan^2 \alpha = 3\)
Chia cả tử và mẫu của \(A\) cho \(\cos^3 \alpha\):
\(A = \frac{\frac{\sin \alpha – \cos \alpha}{\cos^3 \alpha}}{\frac{\sin^3 \alpha + 3\cos^3 \alpha + 2\sin \alpha}{\cos^3 \alpha}}\)
\(A = \frac{\tan \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} – \frac{1}{\cos^2 \alpha}}{\tan^3 \alpha + 3 + 2\tan \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}}\)
\(A = \frac{\tan \alpha (1 + \tan^2 \alpha) – (1 + \tan^2 \alpha)}{\tan^3 \alpha + 3 + 2\tan \alpha (1 + \tan^2 \alpha)}\)
Thay \(\tan \alpha = \sqrt{2}\) và \(1 + \tan^2 \alpha = 3\):
\(A = \frac{\sqrt{2} \cdot 3 – 3}{2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{3\sqrt{2} – 3}{8\sqrt{2} + 3}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment