Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!
Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em cách quy đồng hai phân thức đại số. Đây là một kiến thức rất quan trọng để chúng ta có thể thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau này.

Đề bài của chúng ta là: Quy đồng các phân thức sau:
\(\(\dfrac{x+1}{x – x^{2}}\)\) và \(\(\dfrac{x+2}{2 – 4x + 2x^2}\)\)

Để quy đồng hai phân thức, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử (nếu có thể).

Chúng ta hãy xét từng phân thức một nhé!

Đối với phân thức thứ nhất: \(\(\dfrac{x+1}{x – x^{2}}\)\)
Mẫu thức là \(\(x – x^2\)\).
Chúng ta thấy rằng \(\(x\)\) là nhân tử chung, vậy ta có thể phân tích như sau:
\(\(x – x^2 = x(1 – x)\)\)

Đối với phân thức thứ hai: \(\(\dfrac{x+2}{2 – 4x + 2x^2}\)\)
Mẫu thức là \(\(2 – 4x + 2x^2\)\).
Đầu tiên, chúng ta thấy \(\(2\)\) là nhân tử chung, vậy ta đặt \(\(2\)\) ra ngoài:
\(\(2 – 4x + 2x^2 = 2(1 – 2x + x^2)\)\)
Tiếp theo, các em có nhận ra biểu thức \(\(1 – 2x + x^2\)\) quen thuộc không? Đó chính là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \(\((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)\) với \(\(a = 1\)\) và \(\(b = x\)\).
Vậy, \(\(1 – 2x + x^2 = (1 – x)^2\)\).
Do đó, mẫu thức thứ hai trở thành: \(\(2(1 – x)^2\)\)

Tóm tắt lại các mẫu thức đã phân tích:

Mẫu thức của phân thức thứ nhất: \(\(x(1 – x)\)\)
Mẫu thức của phân thức thứ hai: \(\(2(1 – x)^2\)\)

Bước 2: Tìm Mẫu thức chung nhỏ nhất (MTC).

MTC chính là Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu thức đã phân tích.
Chúng ta sẽ lấy tất cả các nhân tử (cả số và biến) xuất hiện trong các mẫu thức, mỗi nhân tử với số mũ cao nhất của nó.
Các nhân tử xuất hiện là: \(\(x\)\), \(\(2\)\), và \(\((1 – x)\)\).
– Nhân tử \(\(x\)\): xuất hiện với số mũ cao nhất là \(\(1\)\) (tức là \(\(x\)\)).
– Nhân tử \(\(2\)\): xuất hiện với số mũ cao nhất là \(\(1\)\) (tức là \(\(2\)\)).
– Nhân tử \(\((1 – x)\)\): xuất hiện với số mũ cao nhất là \(\(2\)\) (tức là \(\((1 – x)^2\)\)).

Vậy, Mẫu thức chung nhỏ nhất (MTC) của hai phân thức là: \(\(2x(1 – x)^2\)\)

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng để được MTC.

Đối với phân thức thứ nhất: \(\(\dfrac{x+1}{x(1 – x)}\)\)
Mẫu thức hiện tại là \(\(x(1 – x)\)\).
MTC là \(\(2x(1 – x)^2\)\).
Để mẫu thức \(\(x(1 – x)\)\) trở thành MTC, ta cần nhân thêm với \(\(2(1 – x)\)\) (vì \(\(x(1 – x) \cdot 2(1 – x) = 2x(1 – x)^2\)\)).
Vậy, chúng ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với \(\(2(1 – x)\)\):
\(\(\dfrac{x+1}{x(1 – x)} = \dfrac{(x+1) \cdot 2(1 – x)}{x(1 – x) \cdot 2(1 – x)}\)\)
\(\(= \dfrac{2(x+1)(1 – x)}{2x(1 – x)^2}\)\)
Bây giờ, chúng ta có thể khai triển tử thức: \(\(2(x+1)(1-x) = 2(x – x^2 + 1 – x) = 2(1 – x^2)\)\).
Vậy, phân thức thứ nhất sau khi quy đồng là: \(\(\dfrac{2(1 – x^2)}{2x(1 – x)^2}\)\)

Đối với phân thức thứ hai: \(\(\dfrac{x+2}{2(1 – x)^2}\)\)
Mẫu thức hiện tại là \(\(2(1 – x)^2\)\).
MTC là \(\(2x(1 – x)^2\)\).
Để mẫu thức \(\(2(1 – x)^2\)\) trở thành MTC, ta cần nhân thêm với \(\(x\)\) (vì \(\(2(1 – x)^2 \cdot x = 2x(1 – x)^2\)\)).
Vậy, chúng ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với \(\(x\)\):
\(\(\dfrac{x+2}{2(1 – x)^2} = \dfrac{(x+2) \cdot x}{2(1 – x)^2 \cdot x}\)\)
\(\(= \dfrac{x(x+2)}{2x(1 – x)^2}\)\)
Bây giờ, chúng ta có thể khai triển tử thức: \(\(x(x+2) = x^2 + 2x\)\).
Vậy, phân thức thứ hai sau khi quy đồng là: \(\(\dfrac{x^2 + 2x}{2x(1 – x)^2}\)\)

Kết luận:

Sau khi quy đồng, hai phân thức đã cho trở thành:
\(\(\dfrac{2(1 – x^2)}{2x(1 – x)^2}\)\) và \(\(\dfrac{x^2 + 2x}{2x(1 – x)^2}\)\)

Hy vọng qua bài giảng này, các em đã hiểu rõ cách quy đồng các phân thức đại số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé!
Chúc các em học tốt!