Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử:

Bài toán: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

\(x^2 +2y+2+y^2 +2x\)

Lời giải:

Để phân tích đa thức này thành nhân tử, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử lại với nhau một cách hợp lý để xuất hiện nhân tử chung hoặc áp dụng các hằng đẳng thức đã học.

Đầu tiên, chúng ta quan sát các hạng tử trong đa thức: \(x^2\), \(2y\), \(2\), \(y^2\), \(2x\).

Ta có thể nhận thấy sự xuất hiện của \(x^2\) và \(2x\), cũng như \(y^2\) và \(2y\). Đây là những dấu hiệu gợi ý chúng ta có thể sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng.

Hãy nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\) lại:

\( (x^2 + 2x) + (y^2 + 2y) + 2 \)

Để sử dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), chúng ta cần thêm các hạng tử để hoàn thiện bình phương.

Đối với nhóm \( (x^2 + 2x) \), chúng ta cần thêm \(1^2 = 1\) để trở thành \((x+1)^2\).

Đối với nhóm \( (y^2 + 2y) \), chúng ta cần thêm \(1^2 = 1\) để trở thành \((y+1)^2\).

Vậy, chúng ta sẽ thêm và bớt \(1\) vào đa thức ban đầu một cách khéo léo:

\(x^2 + 2x + 1 – 1 + y^2 + 2y + 1 – 1 + 2\)

Bây giờ, chúng ta nhóm lại:

\( (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) – 1 – 1 + 2 \)

Áp dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):

\( (x+1)^2 + (y+1)^2 – 1 – 1 + 2 \)

Thực hiện phép tính với các hằng số:

\( (x+1)^2 + (y+1)^2 + (-1 – 1 + 2) \)

\( (x+1)^2 + (y+1)^2 + 0 \)

\( (x+1)^2 + (y+1)^2 \)

Đến đây, chúng ta có tổng của hai bình phương. Tuy nhiên, trong chương trình Toán 9, việc phân tích tổng hai bình phương thành nhân tử chỉ thực hiện được khi có thêm các điều kiện hoặc ta làm việc trên tập số phức. Nếu đề bài yêu cầu phân tích trên tập số thực thì đây là dạng đã được phân tích.

Tuy nhiên, nếu chúng ta nhóm theo một cách khác ngay từ đầu, chúng ta có thể có kết quả khác.

Chúng ta quay lại đa thức ban đầu: \(x^2 +2y+2+y^2 +2x\).

Hãy thử nhóm các hạng tử sao cho xuất hiện nhân tử chung ngay lập tức.

Ta có thể thấy sự đối xứng giữa \(x\) và \(y\).

Thử nhóm \(x^2 + 2x + 1\) và \(y^2 + 2y + 1\). Chúng ta đã làm ở trên.

Xét đa thức ban đầu:

\(x^2 + y^2 + 2x + 2y + 2\)

Hãy thử thêm và bớt \(2xy\) để xuất hiện hằng đẳng thức \((x+y)^2\).

\( (x^2 + 2xy + y^2) – 2xy + 2x + 2y + 2 \)

\( (x+y)^2 – 2xy + 2x + 2y + 2 \)

Nhóm các hạng tử còn lại:

\( (x+y)^2 – 2xy + 2(x+y) + 2 \)

Cách này có vẻ không dẫn đến nhân tử chung đơn giản.

Chúng ta quay lại với cách nhóm đầu tiên, có vẻ là phương pháp hiệu quả nhất cho bài toán này trên tập số thực.

\(x^2 + 2y + 2 + y^2 + 2x\)

Nhóm các hạng tử:

\( (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) \)

Để có được \(+1\) trong mỗi ngoặc, chúng ta cần tách số \(2\) thành \(1+1\).

\(x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1\)

Áp dụng hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):

\( (x+1)^2 + (y+1)^2 \)

Đây là kết quả phân tích đa thức thành nhân tử trên tập số thực.

Kết luận:

Đa thức \(x^2 +2y+2+y^2 +2x\) được phân tích thành nhân tử là:

\( (x+1)^2 + (y+1)^2 \)

Các em về nhà ôn tập kỹ các hằng đẳng thức và cách nhóm hạng tử để làm tốt các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nhé!