Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán đại số khá thú vị. Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ năng biến đổi biểu thức. Các em hãy cùng chú ý theo dõi nhé!

Đề bài:
Cho a, b là hai số thực phân biệt thỏa mãn: \(a^2 + 3a = b^2 + 3b\).
Tính giá trị của biểu thức \(T = a^3 + b^3 – 9ab\).

Lời giải chi tiết:

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo từng bước một.

Bước 1: Khai thác giả thiết của bài toán

Giả thiết cho chúng ta biết: \(a^2 + 3a = b^2 + 3b\).
Mục tiêu của chúng ta là tìm ra mối quan hệ giữa \(a\) và \(b\) từ đẳng thức này.

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế, ta được:

\(a^2 + 3a – b^2 – 3b = 0\)

Nhóm các hạng tử có chứa \(a^2\) và \(b^2\), các hạng tử có chứa \(a\) và \(b\) lại với nhau:

\((a^2 – b^2) + (3a – 3b) = 0\)

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \(x^2 – y^2 = (x – y)(x + y)\) cho \((a^2 – b^2)\), ta có:

\((a – b)(a + b) + 3(a – b) = 0\)

Ở đây, chúng ta thấy nhân tử chung là \((a – b)\). Đặt \((a – b)\) ra ngoài làm nhân tử chung:

\((a – b)(a + b + 3) = 0\)

Theo đề bài, \(a\) và \(b\) là hai số thực phân biệt. Điều này có nghĩa là \(a \neq b\), hay nói cách khác là \(a – b \neq 0\).

Vì \((a – b)(a + b + 3) = 0\) và \((a – b) \neq 0\), nên bắt buộc nhân tử còn lại phải bằng 0. Vậy ta có:

\(a + b + 3 = 0\)

Từ đây, chúng ta rút ra được một mối quan hệ rất quan trọng giữa \(a\) và \(b\):

\(a + b = -3\)

Hãy giữ mối quan hệ này trong đầu nhé!

Bước 2: Biến đổi biểu thức \(T\) cần tính

Chúng ta cần tính giá trị của biểu thức \(T = a^3 + b^3 – 9ab\).

Chúng ta nhớ lại hằng đẳng thức tổng của hai lập phương: \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y)\).
Áp dụng hằng đẳng thức này cho \(a^3 + b^3\), ta có:

\(a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(a + b = -3\) (mà chúng ta vừa tìm được ở Bước 1) vào biểu thức này:

\(a^3 + b^3 = (-3)^3 – 3ab(-3)\)

Tính toán các giá trị:

\(a^3 + b^3 = -27 + 9ab\)

Tuyệt vời! Bây giờ chúng ta đã có một biểu thức rút gọn cho \((a^3 + b^3)\).

Bước 3: Tính giá trị của \(T\)

Chúng ta thay biểu thức vừa tìm được của \((a^3 + b^3)\) vào biểu thức \(T\):

\(T = (a^3 + b^3) – 9ab\)

\(T = (-27 + 9ab) – 9ab\)

Quan sát kỹ biểu thức này, các em thấy điều gì đặc biệt không?

Chúng ta có hạng tử \(+9ab\) và hạng tử \(-9ab\). Hai hạng tử này sẽ triệt tiêu lẫn nhau.

\(T = -27 + (9ab – 9ab)\)

\(T = -27 + 0\)

\(T = -27\)

Vậy là chúng ta đã tìm được giá trị của biểu thức \(T\)!

Kết luận:

Giá trị của biểu thức \(T = a^3 + b^3 – 9ab\) là \(-27\).

Bài toán này tuy nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích giả thiết và áp dụng đúng các hằng đẳng thức, bài toán sẽ trở nên rất đơn giản. Các em nhớ ôn lại các hằng đẳng thức và kỹ năng biến đổi biểu thức nhé!

Chúc các em học tốt!