Chào các em học sinh yêu quý của lớp 8!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến các biểu thức đại số. Đây là dạng bài thường gặp và đòi hỏi chúng ta phải có một chút tinh ý trong biến đổi.

Đề bài: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn \(a^2 + b^2 + c^2 = 14\) và \(a + 2b + 3c = 14\). Tính \(T = abc\).

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và tìm lời giải nhé!

Phân tích đề bài:

Chúng ta có hai thông tin quan trọng:

1. Tổng bình phương của a, b, c bằng 14: \(a^2 + b^2 + c^2 = 14\)
2. Một tổng tuyến tính của a, b, c cũng bằng 14: \(a + 2b + 3c = 14\)

Điều này gợi ý cho chúng ta rằng có thể có một mối liên hệ đặc biệt giữa hai biểu thức này. Cả hai đều bằng 14, nên chúng ta có thể cho chúng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Thiết lập phương trình từ hai điều kiện đã cho.

Vì \(a^2 + b^2 + c^2 = 14\) và \(a + 2b + 3c = 14\), nên ta có thể suy ra:

\(a^2 + b^2 + c^2 = a + 2b + 3c\)

Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và sắp xếp lại.

Chuyển tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái, ta được:

\(a^2 – a + b^2 – 2b + c^2 – 3c = 0\)

Bước 3: Sử dụng phương pháp “hoàn thành bình phương”.

Mục tiêu của chúng ta là biến đổi các nhóm \(a^2 – a\), \(b^2 – 2b\), \(c^2 – 3c\) thành dạng bình phương của một hiệu. Các em nhớ công thức \((x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2\) nhé!

• Với \(a^2 – a\): Để biến nó thành một dạng bình phương, ta cần thêm một hằng số. Ta thấy \(a^2 – a = a^2 – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2}\). Vậy số cần thêm vào là \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
  Ta có: \(a^2 – a + \frac{1}{4} = \left(a – \frac{1}{2}\right)^2\).
• Với \(b^2 – 2b\): Ta thấy \(b^2 – 2b = b^2 – 2 \cdot b \cdot 1\). Vậy số cần thêm vào là \(1^2 = 1\).
  Ta có: \(b^2 – 2b + 1 = (b – 1)^2\).
• Với \(c^2 – 3c\): Ta thấy \(c^2 – 3c = c^2 – 2 \cdot c \cdot \frac{3}{2}\). Vậy số cần thêm vào là \(\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\).
  Ta có: \(c^2 – 3c + \frac{9}{4} = \left(c – \frac{3}{2}\right)^2\).

Tuy nhiên, cách này vẫn chưa dẫn đến một kết quả đẹp mắt ngay lập tức. Chúng ta hãy thử một cách tiếp cận khác, dựa trên một “mẹo” thường dùng cho dạng bài này, đó là tạo ra tổng các bình phương bằng 0.

Cách tiếp cận khác (và hiệu quả hơn):

Chúng ta đã có:

\(a^2 + b^2 + c^2 = 14\) (1)

\(a + 2b + 3c = 14\) (2)

Hãy thử xét biểu thức sau, được gợi ý từ các hệ số của a, b, c trong phương trình (2):

\((a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2\)

Hãy khai triển biểu thức này ra nhé:

\((a-1)^2 = a^2 – 2a + 1\)

\((b-2)^2 = b^2 – 4b + 4\)

\((c-3)^2 = c^2 – 6c + 9\)

Cộng ba biểu thức này lại, ta được:

\((a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = (a^2 – 2a + 1) + (b^2 – 4b + 4) + (c^2 – 6c + 9)\)

Nhóm các hạng tử tương tự lại:

\(= (a^2 + b^2 + c^2) – (2a + 4b + 6c) + (1 + 4 + 9)\)

\(= (a^2 + b^2 + c^2) – 2(a + 2b + 3c) + 14\)

Bây giờ, chúng ta thay các giá trị đã cho vào biểu thức này:

Theo đề bài, \(a^2 + b^2 + c^2 = 14\) và \(a + 2b + 3c = 14\).
Vậy, ta có:

\((a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 = 14 – 2(14) + 14\)

\(= 14 – 28 + 14\)

\(= 0\)

Bước 4: Suy ra giá trị của a, b, c.

Chúng ta có tổng của ba số không âm (bình phương của các số thực luôn không âm) bằng 0. Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi cả ba số đó đều bằng 0.

Tức là:

• \((a-1)^2 = 0 \Rightarrow a – 1 = 0 \Rightarrow \mathbf{a = 1}\)
• \((b-2)^2 = 0 \Rightarrow b – 2 = 0 \Rightarrow \mathbf{b = 2}\)
• \((c-3)^2 = 0 \Rightarrow c – 3 = 0 \Rightarrow \mathbf{c = 3}\)

Bước 5: Tính giá trị của T.

Đề bài yêu cầu tính \(T = abc\). Thay các giá trị a, b, c vừa tìm được vào:

\(T = 1 \times 2 \times 3\)

\(T = 6\)

Kết luận:

Vậy, giá trị của \(T = abc\) là 6.

Bài toán này đã giúp chúng ta ôn lại kỹ năng khai triển hằng đẳng thức và một “mẹo” rất hay để giải quyết các bài toán dạng này: đưa về tổng các bình phương bằng 0. Hãy ghi nhớ phương pháp này nhé các em!

Chúc các em học tốt!