Timf GTNN:
`E= (x + y – 2,5)^2026 + (y^2 +1/3)^2 -10 `
Nhanh giups mk vowis
\(E= (x + y – 2,5)^2026 + (y^2 +1/3)^2 -10 \)
Nhanh giups mk vowis
Bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(E= (x + y – 2,5)^2026 + (y^2 +1/3)^2 -10 \)
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E, chúng ta cần phân tích từng phần của biểu thức.
Phân tích từng thành phần:
1. Thành phần thứ nhất: \((x + y – 2,5)^2026\)
Các em lưu ý rằng, bất kỳ số thực nào khi nâng lên một lũy thừa chẵn (ở đây là 2026) thì kết quả luôn luôn không âm, tức là lớn hơn hoặc bằng 0.
Do đó, ta có: \((x + y – 2,5)^2026 \ge 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x + y – 2,5 = 0\), hay \(x + y = 2,5\).
2. Thành phần thứ hai: \((y^2 +1/3)^2\)
Xét biểu thức bên trong ngoặc: \(y^2 + 1/3\).
Vì \(y^2 \ge 0\) với mọi số thực y, nên \(y^2 + 1/3 \ge 0 + 1/3 = 1/3\).
Do đó, \((y^2 + 1/3)^2 \ge (1/3)^2 = 1/9\).
Tuy nhiên, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của cả biểu thức E. Điều quan trọng ở đây là khi nào \((y^2 + 1/3)^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất của \(y^2\) là 0, xảy ra khi \(y = 0\).
Khi \(y = 0\), thì \(y^2 + 1/3 = 0 + 1/3 = 1/3\).
Và \((y^2 + 1/3)^2 = (1/3)^2 = 1/9\).
Như vậy, giá trị nhỏ nhất của \((y^2 + 1/3)^2\) là \(1/9\), và điều này xảy ra khi \(y = 0\).
3. Hằng số: -10
Đây là một hằng số, nó không thay đổi.
Kết hợp các thành phần để tìm GTNN của E:
Chúng ta có:
\(E = \underbrace{(x + y – 2,5)^2026}_{\ge 0} + \underbrace{(y^2 +1/3)^2}_{\ge 1/9} – 10 \)
Để E đạt giá trị nhỏ nhất, cả hai phần không âm của nó phải đạt giá trị nhỏ nhất có thể.
Ta đã xác định:
- \((x + y – 2,5)^2026\) đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi \(x + y = 2,5\).
- \((y^2 +1/3)^2\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(1/9\) khi \(y = 0\).
Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại các giá trị của x và y sao cho cả hai điều kiện này đồng thời xảy ra hay không.
Nếu \(y = 0\), thì điều kiện \(x + y = 2,5\) trở thành \(x + 0 = 2,5\), suy ra \(x = 2,5\).
Vậy, khi \(x = 2,5\) và \(y = 0\), cả hai phần không âm của biểu thức đều đạt giá trị nhỏ nhất.
Thay \(x = 2,5\) và \(y = 0\) vào biểu thức E:
\(E = (2,5 + 0 – 2,5)^2026 + (0^2 +1/3)^2 -10 \)
\(E = (0)^2026 + (0 + 1/3)^2 – 10 \)
\(E = 0 + (1/3)^2 – 10 \)
\(E = 0 + 1/9 – 10 \)
\(E = 1/9 – 10 \)
\(E = 1/9 – 90/9 \)
\(E = -89/9 \)
Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức E là \(-89/9\), đạt được khi \(x = 2,5\) và \(y = 0\).
Các em có hiểu bài không nào? Nếu có gì thắc mắc, đừng ngần ngại hỏi nhé!
Đáp án \(+\) Giải thích các bước giải:
Ta thấy: \((x+y-2,5)^2026>=0\) với \(∀x;y\)
\((y^2+1/3)^2>=(1/3)^2=1/9\)
nên \(E=(x+y-2,5)^2026+(y^2+1/3)^2-10>=1/9-10=-89/10\)
Dấu “\(=\)” xảy ra khi: \(y=0\) và \(x+y-2,5=0\)
nên \(x=2,5\) và \(y=0\)
Vậy GTNN của \(E\) là \(-89/10\) khi \(x=2,5\) và \(y=0\)
\(E = (x + y – 2,5)^(2026) + (y^2 + (1)/(3))^2 – 10\)
Vì \({((x + y – 2,5)^(2026) >= 0 \quad \forall x, y), (y^2 >= 0 => y^2 + (1)/(3) >= (1)/(3) => (y^2 + (1)/(3))^2 >= (1)/(9) \quad \forall y):}\)
\(-> (x + y – 2,5)^(2026) + (y^2 + (1)/(3))^2 – 10 >= 0 + (1)/(9) – 10 \quad \forall x, y\)
\(-> E >= -(89)/(9)\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{\begin{aligned} &x + y – 2,5 = 0 \\ &y = 0 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{\begin{aligned} &x = 2,5 \\ &y = 0 \end{aligned}\right.\)
Vậy \(E_(\min) = -(89)/(9)\) khi \(x = 2,5\) và \(y = 0\)
\(\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment