Đề bài: Chứng minh rằng biểu thức \(3^{n+2} – 2^{n+2} + 3^n – 2^n\) chia hết cho 10 với mọi số tự nhiên \(n\) thuộc tập hợp \(N*\) (tức là \(n\) là các số nguyên dương: 1, 2, 3,…).

Lời giải:

Để chứng minh một biểu thức chia hết cho 10, chúng ta cần chứng minh nó chia hết cho cả 2 và 5, vì 2 và 5 là hai thừa số nguyên tố của 10 và chúng nguyên tố cùng nhau.

Bước 1: Rút gọn biểu thức ban đầu.

Ta có biểu thức ban đầu là: \(A = 3^{n+2} – 2^{n+2} + 3^n – 2^n\)

Áp dụng quy tắc lũy thừa \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\), ta viết lại các số hạng:

\(3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 3^n \cdot 9\)

\(2^{n+2} = 2^n \cdot 2^2 = 2^n \cdot 4\)

Thay vào biểu thức A:

\(A = (3^n \cdot 9) – (2^n \cdot 4) + 3^n – 2^n\)

Bây giờ, ta nhóm các số hạng có cùng cơ số lại với nhau:

\(A = (3^n \cdot 9 + 3^n) – (2^n \cdot 4 + 2^n)\)

Đặt \(3^n\) làm nhân tử chung ở nhóm thứ nhất và \(2^n\) làm nhân tử chung ở nhóm thứ hai:

\(A = 3^n (9 + 1) – 2^n (4 + 1)\)

Thực hiện phép cộng trong ngoặc:

\(A = 3^n (10) – 2^n (5)\)

\(A = 10 \cdot 3^n – 5 \cdot 2^n\)

Bước 2: Chứng minh A chia hết cho 10.

Chúng ta cần chứng minh \(A\) chia hết cho 2 và \(A\) chia hết cho 5.

2.1. Chứng minh A chia hết cho 2:

Ta có \(A = 10 \cdot 3^n – 5 \cdot 2^n\)

Số hạng thứ nhất \(10 \cdot 3^n\) luôn chia hết cho 2 vì 10 chia hết cho 2.

Xét số hạng thứ hai \(5 \cdot 2^n\). Vì \(n\) thuộc \(N*\), nên \(n \ge 1\). Do đó, \(2^n\) sẽ luôn là một số chẵn.

Một số lẻ (5) nhân với một số chẵn (\(2^n\)) sẽ cho ra một số chẵn.

Vậy, \(5 \cdot 2^n\) chia hết cho 2.

Hiệu của hai số chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 2.

Do đó, \(A = 10 \cdot 3^n – 5 \cdot 2^n\) chia hết cho 2.

2.2. Chứng minh A chia hết cho 5:

Ta có \(A = 10 \cdot 3^n – 5 \cdot 2^n\)

Số hạng thứ nhất \(10 \cdot 3^n\) luôn chia hết cho 5 vì 10 chia hết cho 5.

Số hạng thứ hai \(5 \cdot 2^n\) luôn chia hết cho 5 vì có thừa số 5.

Hiệu của hai số chia hết cho 5 thì sẽ chia hết cho 5.

Do đó, \(A = 10 \cdot 3^n – 5 \cdot 2^n\) chia hết cho 5.

Kết luận:

Vì biểu thức \(A = 3^{n+2} – 2^{n+2} + 3^n – 2^n\) chia hết cho cả 2 và 5, mà 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên biểu thức A chia hết cho tích của chúng là \(2 \times 5 = 10\).

Vậy, \(3^{n+2} – 2^{n+2} + 3^n – 2^n\) chia hết cho 10 với mọi \(n\) thuộc \(N*\).

Các em thấy không, chỉ cần khéo léo rút gọn biểu thức và áp dụng các tính chất chia hết cơ bản, chúng ta đã giải quyết được bài toán này một cách dễ dàng.

Các em có câu hỏi nào không?