Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất hay về việc tối ưu hóa doanh thu, một ứng dụng của kiến thức về hàm số bậc hai mà chúng ta đã học.

Chúng ta cùng phân tích đề bài nhé:

Đề bài: Một ban tổ chức đêm nhạc dự kiến bán vé với giá 300 000 đồng/vé thì sẽ có 600 khán giả tham dự. Nhằm kích cầu và tối đa hóa doanh thu, ban tổ chức nhận thấy: cứ giảm giá vé đi 10 000 đồng thì số lượng khán giả mua vé sẽ tăng thêm 50 người. Hỏi ban tổ chức nên ấn định giá vé là bao nhiêu để doanh thu bán vé đạt lớn nhất?

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Xác định các đại lượng ban đầu

• Giá vé ban đầu: \(300\,000\) đồng/vé
• Số lượng khán giả ban đầu: \(600\) người

Bước 2: Gọi biến và biểu diễn các đại lượng thay đổi

Để tìm giá vé tối ưu, chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa việc giảm giá và số lượng khán giả tăng lên.

Gọi \(x\) là số lần giảm giá vé đi \(10\,000\) đồng. \(x\) phải là số nguyên không âm.

Khi đó:

• Giá vé mới: Giá vé sẽ giảm đi \(x\) lần, mỗi lần \(10\,000\) đồng.
  
  Giá vé mới = Giá vé ban đầu – Số tiền giảm = \(300\,000 – 10\,000x\) (đồng)
• Số lượng khán giả mới: Số lượng khán giả sẽ tăng thêm \(x\) lần, mỗi lần \(50\) người.
  
  Số lượng khán giả mới = Số lượng khán giả ban đầu + Số người tăng thêm = \(600 + 50x\) (người)

Bước 3: Lập hàm doanh thu

Doanh thu (\(D\)) được tính bằng công thức: Doanh thu = Giá vé \(\times\) Số lượng khán giả.

Vậy, hàm doanh thu \(D(x)\) sẽ là:

\(D(x) = (\text{Giá vé mới}) \times (\text{Số lượng khán giả mới})\)

\(D(x) = (300\,000 – 10\,000x) \times (600 + 50x)\)

Để dễ dàng tìm giá trị lớn nhất, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức này:

Ta có thể đặt nhân tử chung ra ngoài:

\(D(x) = 10\,000(30 – x) \times 50(12 + x)\)

\(D(x) = 10\,000 \times 50 \times (30 – x)(12 + x)\)

\(D(x) = 500\,000 \times (30 \times 12 + 30x – 12x – x^2)\)

\(D(x) = 500\,000 \times (360 + 18x – x^2)\)

\(D(x) = 500\,000 \times (-x^2 + 18x + 360)\)

Đây là một hàm số bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), với \(a = -500\,000\), \(b = 500\,000 \times 18\) và \(c = 500\,000 \times 360\).

Vì hệ số \(a = -500\,000\) (là số âm), nên đồ thị của hàm số này là một parabol quay bề lõm xuống dưới, có nghĩa là hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

Bước 4: Tìm giá trị của biến để doanh thu lớn nhất

Giá trị của \(x\) tại đỉnh của parabol được tính bằng công thức \(x = \frac{-b}{2a}\).

Trong biểu thức \(D(x) = 500\,000 \times (-x^2 + 18x + 360)\), chúng ta chỉ cần tìm giá trị của \(x\) để biểu thức trong ngoặc \((-x^2 + 18x + 360)\) đạt giá trị lớn nhất.

Với biểu thức \(-x^2 + 18x + 360\), ta có \(a’ = -1\), \(b’ = 18\).

Giá trị \(x\) để doanh thu đạt lớn nhất là:

\(x = \frac{-b’}{2a’} = \frac{-18}{2 \times (-1)} = \frac{-18}{-2} = 9\)

Vậy, để doanh thu đạt lớn nhất, ban tổ chức cần giảm giá vé đi 9 lần.

Bước 5: Tính giá vé tối ưu

Chúng ta thay \(x = 9\) vào công thức tính giá vé mới:

Giá vé mới = \(300\,000 – 10\,000x\)

Giá vé mới = \(300\,000 – 10\,000 \times 9\)

Giá vé mới = \(300\,000 – 90\,000\)

Giá vé mới = \(210\,000\) đồng

Bước 6: Kết luận

Để doanh thu bán vé đạt lớn nhất, ban tổ chức nên ấn định giá vé là \(210\,000\) đồng/vé.

Kiểm tra thêm (tùy chọn):

Với giá vé \(210\,000\) đồng, số lượng khán giả sẽ là:

\(600 + 50x = 600 + 50 \times 9 = 600 + 450 = 1050\) người.

Doanh thu tối đa sẽ là:

\(D(9) = 210\,000 \times 1050 = 220\,500\,000\) đồng.

Nếu không giảm giá (x=0): Doanh thu = \(300\,000 \times 600 = 180\,000\,000\) đồng.

Nếu giảm giá 1 lần (x=1): Giá vé \(290\,000\), số người \(650\). Doanh thu = \(290\,000 \times 650 = 188\,500\,000\) đồng.

Rõ ràng, doanh thu \(220\,500\,000\) đồng là lớn hơn, chứng tỏ cách tính của chúng ta là chính xác.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn cách áp dụng kiến thức hàm số bậc hai vào giải quyết các bài toán thực tế nhé!