Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức.

Phần thứ nhất: \( \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x – \sqrt{x} + 1} \)

Ta có thể đặt \( \sqrt{x} \) làm nhân tử chung ở tử số: \( x^2 + \sqrt{x} = \sqrt{x}(x\sqrt{x} + 1) \). Tuy nhiên, cách này có vẻ không thuận tiện.

Hãy thử nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số. Nhưng mẫu số \( x – \sqrt{x} + 1 \) đã luôn dương, nên việc nhân với liên hợp có thể làm phức tạp thêm.

Quan sát tử số \( x^2 + \sqrt{x} \), ta nhận thấy mối liên hệ với mẫu số \( x – \sqrt{x} + 1 \). Nếu ta nhân mẫu số với \( \sqrt{x} + 1 \), ta được:

\( (x – \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 1) = x\sqrt{x} + x – x – \sqrt{x} + \sqrt{x} + 1 = x\sqrt{x} + 1 \)

Còn nếu ta nhân mẫu số với \( x + \sqrt{x} + 1 \), ta được:

\( (x – \sqrt{x} + 1)(x + \sqrt{x} + 1) = (x+1)^2 – (\sqrt{x})^2 = x^2 + 2x + 1 – x = x^2 + x + 1 \)

Đây cũng chưa phải là dạng cần thiết.

Hãy quay lại tử số \( x^2 + \sqrt{x} \). Ta có thể viết lại x^2 thành \( (\sqrt{x})^4 \).

Vậy tử số là \( (\sqrt{x})^4 + \sqrt{x} = \sqrt{x}((\sqrt{x})^3 + 1) \). Ta có hằng đẳng thức \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \).

Áp dụng với \( a = \sqrt{x} \) và \( b = 1 \), ta có:

\( (\sqrt{x})^3 + 1 = (\sqrt{x} + 1)((\sqrt{x})^2 – \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt{x} + 1)(x – \sqrt{x} + 1) \)

Do đó, tử số \( x^2 + \sqrt{x} \) có thể viết lại là \( \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)(x – \sqrt{x} + 1) \).

Vậy phân thức thứ nhất trở thành:

\( \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)(x – \sqrt{x} + 1)}{x – \sqrt{x} + 1} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) = x + \sqrt{x} \)

Bây giờ, ta rút gọn phân thức thứ hai:

\( \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \)

Đặt \( \sqrt{x} \) làm nhân tử chung ở tử số: \( 2x + \sqrt{x} = \sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1) \).

Vậy phân thức thứ hai trở thành:

\( \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + 1 \)

Bây giờ, ta thay các kết quả rút gọn vào biểu thức A:

A = \( (x + \sqrt{x}) – (2\sqrt{x} + 1) + 1 \)