Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán bất đẳng thức khá thú vị. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng với mọi \(a,b\) dương, ta có:

\[ \dfrac{2a^2 + 3b^2}{2a^3+  3b^3} + \dfrac{2b^2 +3a^2}{2b^3+ 3a^3} \leqslant \dfrac{ 2(a+b)}{a^2+b^2} \]

Đây là một bài toán đòi hỏi sự khéo léo trong biến đổi đại số. Hãy cùng thầy phân tích và giải quyết nhé!

Bước 1: Chuyển vế và quy đồng để đơn giản hóa biểu thức

Chúng ta sẽ đưa vế phải sang vế trái và cố gắng nhóm các hạng tử lại. Để ý rằng vế phải có dạng \( \dfrac{2(a+b)}{a^2+b^2} \). Ta có thể tách nó ra thành hai phần để ghép với từng phân số ở vế trái:

\[ \left( \dfrac{2a^2 + 3b^2}{2a^3+  3b^3} – \dfrac{a+b}{a^2+b^2} \right) + \left( \dfrac{2b^2 +3a^2}{2b^3+ 3a^3} – \dfrac{a+b}{a^2+b^2} \right) \leqslant 0 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ xử lý từng phần trong ngoặc. Xét phần thứ nhất:

\[ \dfrac{2a^2 + 3b^2}{2a^3+  3b^3} – \dfrac{a+b}{a^2+b^2} = \dfrac{(2a^2+3b^2)(a^2+b^2) – (a+b)(2a^3+3b^3)}{(2a^3+3b^3)(a^2+b^2)} \]

Hãy khai triển tử số:

Tử số \( = (2a^4 + 2a^2b^2 + 3a^2b^2 + 3b^4) – (2a^4 + 3ab^3 + 2a^3b + 3b^4) \)

\( = 2a^4 + 5a^2b^2 + 3b^4 – 2a^4 – 2a^3b – 3ab^3 – 3b^4 \)

\( = 5a^2b^2 – 2a^3b – 3ab^3 \)

\( = -ab(2a^2 – 5ab + 3b^2) \)

Để ý rằng biểu thức trong ngoặc \( 2a^2 – 5ab + 3b^2 \) là một tam thức bậc hai theo \(a\) (nếu coi \(b\) là hằng số) hoặc theo \(b\). Ta có thể phân tích nó thành nhân tử:

\( 2a^2 – 5ab + 3b^2 = 2a^2 – 2ab – 3ab + 3b^2 = 2a(a-b) – 3b(a-b) = (2a-3b)(a-b) \)

Vậy, phần thứ nhất trở thành:

\[ \dfrac{-ab(2a-3b)(a-b)}{(2a^3+3b^3)(a^2+b^2)} \quad (*)\\]

Bước 2: Xử lý phần thứ hai và tổng hợp

Tương tự, xét phần thứ hai (chỉ việc hoán đổi vai trò của \(a\) và \(b\)):

\[ \dfrac{2b^2 +3a^2}{2b^3+ 3a^3} – \dfrac{a+b}{a^2+b^2} = \dfrac{-ba(2b-3a)(b-a)}{(2b^3+3a^3)(a^2+b^2)} \]

Ta có thể viết lại tử số để có cùng nhân tử \( (a-b) \):

\( -ba(2b-3a)(b-a) = -ab(3a-2b)(a-b) \)

Vậy, phần thứ hai trở thành:

\[ \dfrac{-ab(3a-2b)(a-b)}{(2b^3+3a^3)(a^2+b^2)} \quad (**)\\]

Cộng hai phần lại, ta cần chứng minh:

\[ \dfrac{-ab(2a-3b)(a-b)}{(2a^3+3b^3)(a^2+b^2)} + \dfrac{-ab(3a-2b)(a-b)}{(2b^3+3a^3)(a^2+b^2)} \leqslant 0 \]

Vì \(a, b\) là các số dương nên \( ab > 0 \) và \( a^2+b^2 > 0 \). Ta có thể chia cả hai vế cho \( \dfrac{-ab}{a^2+b^2} \) (và đổi chiều bất đẳng thức):

\[ \dfrac{(2a-3b)(a-b)}{2a^3+3b^3} + \dfrac{(3a-2b)(a-b)}{2b^3+3a^3} \ge 0 \]

Bước 3: Phân tích các trường hợp

Ta xét các trường hợp của \(a\) và \(b\):

Trường hợp 1: \(a = b\)

Thay \(a=b\) vào bất đẳng thức cuối cùng, ta có:

\[ \dfrac{(2a-3a)(a-a)}{2a^3+3a^3} + \dfrac{(3a-2a)(a-a)}{2a^3+3a^3} = \dfrac{(-a)(0)}{5a^3} + \dfrac{(a)(0)}{5a^3} = 0 + 0 = 0 \]

Bất đẳng thức trở thành \(0 \ge 0\), điều này đúng. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\).

Trường hợp 2: \(a > b\)

Khi \(a > b\), ta có \(a-b > 0\). Ta có thể chia cả hai vế cho \(a-b\) (không đổi chiều bất đẳng thức):

\[ \dfrac{2a-3b}{2a^3+3b^3} + \dfrac{3a-2b}{2b^3+3a^3} \ge 0 \]

Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số:

Tử số \( = (2a-3b)(2b^3+3a^3) + (3a-2b)(2a^3+3b^3) \)

\( = (4ab^3 + 6a^4 – 6b^4 – 9a^3b) + (6a^4 + 9ab^3 – 4a^3b – 6b^4) \)

\( = 6a^4 + 6a^4 + 4ab^3 + 9ab^3 – 9a^3b – 4a^3b – 6b^4 – 6b^4 \)

\( = 12a^4 + 13ab^3 – 13a^3b – 12b^4 \)

Ta cần chứng minh \( 12a^4 + 13ab^3 – 13a^3b – 12b^4 \ge 0 \).
Chia cả hai vế cho \(b^4\) (vì \(b>0\)), và đặt \(x = \dfrac{a}{b}\). Vì \(a>b\), nên \(x > 1\).

Ta cần chứng minh \( 12x^4 – 13x^3 + 13x – 12 \ge 0 \) với \(x > 1\).

Gọi \(P(x) = 12x^4 – 13x^3 + 13x – 12\).
Thử với \(x=1\): \(P(1) = 12 – 13 + 13 – 12 = 0\).
Điều này cho thấy \(P(x)\) có nhân tử \((x-1)\). Ta thực hiện phép chia đa thức:

\(P(x) = (x-1)(12x^3 – x^2 – x + 12)\)

Vậy ta cần chứng minh \( (x-1)(12x^3 – x^2 – x + 12) \ge 0 \).
Vì \(x > 1\), nên \(x-1 > 0\).
Ta cần chứng minh \(Q(x) = 12x^3 – x^2 – x + 12 \ge 0\) với \(x > 1\).

Tính \(Q(1) = 12 – 1 – 1 + 12 = 22\).

Xét đạo hàm \(Q'(x) = 36x^2 – 2x – 1\).
Với \(x > 1\), ta có \(Q'(x) > 36(1)^2 – 2(1) – 1 = 36 – 2 – 1 = 33 > 0\).
Vì \(Q'(x) > 0\) với mọi \(x > 1\), nên hàm số \(Q(x)\) đồng biến trên khoảng \((1, +\infty)\).
Do đó, với \(x > 1\), \(Q(x) > Q(1) = 22\).
Vậy \(Q(x) > 0\) với mọi \(x > 1\).

Như vậy, \( (x-1)Q(x) \ge 0 \) là đúng cho \(x > 1\).

Trường hợp 3: \(a < b\)

Khi \(a < b\), ta có \(a-b < 0\). Ta có thể chia cả hai vế cho \(a-b\) và phải đổi chiều bất đẳng thức:

\[ \dfrac{2a-3b}{2a^3+3b^3} + \dfrac{3a-2b}{2b^3+3a^3} \le 0 \]

Vế trái chính là \( \dfrac{12a^4 + 13ab^3 – 13a^3b – 12b^4}{(2a^3+3b^3)(2b^3+3a^3)} \).

Như đã phân tích ở trên, tử số là \( 12a^4 + 13ab^3 – 13a^3b – 12b^4 = b^4(12x^4 – 13x^3 + 13x – 12) = b^4(x-1)(12x^3 – x^2 – x + 12) \), với \(x = \dfrac{a}{b}\).

Vì \(a < b\), nên \(0 < x < 1\). Trong trường hợp này, \(x-1 < 0\).

Và \(Q(x) = 12x^3 – x^2 – x + 12\).
Với \(x \in (0,1)\):
Ta có \(Q(x) = 12x^3 + (12 – x^2 – x)\).
Với \(x \in (0,1)\), ta có \(12 – x^2 – x > 12 – 1^2 – 1 = 10 > 0\).
Do đó, \(Q(x) > 0\) với mọi \(x \in (0,1)\).

Vậy, khi \(0 < x < 1\), \( (x-1)Q(x) < 0 \). Điều này có nghĩa là tử số \( < 0 \). Mẫu số \( (2a^3+3b^3)(2b^3+3a^3) \) luôn dương vì \(a,b\) dương.

Vậy phân số \( \dfrac{\text{tử số}}{\text{mẫu số}} < 0 \). Điều này thỏa mãn bất đẳng thức \( \le 0 \).

Kết luận:

Trong tất cả các trường hợp \(a=b\), \(a>b\), và \(a

Tóm tắt các bước giải:

1. Chuyển vế và tách vế phải thành hai phần để ghép với từng phân số ở vế trái.
2. Quy đồng và rút gọn từng cặp phân số, sử dụng phân tích nhân tử \(2a^2 – 5ab + 3b^2 = (2a-3b)(a-b)\).
3. Đưa bất đẳng thức về dạng \( \dfrac{(2a-3b)(a-b)}{2a^3+3b^3} + \dfrac{(3a-2b)(a-b)}{2b^3+3a^3} \ge 0 \).
4. Xét 3 trường hợp: \(a=b\), \(a>b\), \(a
5. Chứng minh đa thức \(Q(x) = 12x^3 – x^2 – x + 12 > 0\) cho mọi \(x>0\).

Đây là một bài toán hay và giúp chúng ta ôn lại nhiều kỹ năng đại số. Các em hãy xem kỹ lại các bước nhé!