Hồ nuôi tôm giống của một anh nông dân chứa \(30\) khối nước, cứ mỗi giờ máy bơm nước sẽ bơm thêm vào hồ \(4\) khối nước, đồng thời anh ta cũng thêm vào \(3kg\) bột xử lý nước. Nồng độ (kg/khối) của bột xử lí nước trong hồ không bao giờ vượt qua

A. \(12\)
B. \(1,33\)
C. \(0,75\)
D. \(1\)

• Thể tích nước ban đầu trong hồ: \(V_0 = 30\) khối.
• Mỗi giờ, máy bơm thêm vào hồ: \(4\) khối nước.
• Đồng thời, mỗi giờ anh nông dân thêm vào: \(3kg\) bột xử lý nước.
• Yêu cầu: Tìm giá trị mà nồng độ bột xử lý nước trong hồ không bao giờ vượt quá. Nồng độ được tính bằng (kg bột / khối nước).

Gọi \(t\) là thời gian (đơn vị: giờ) kể từ khi bắt đầu bơm nước và thêm bột. Giả sử \(t \ge 0\).

Nồng độ (ký hiệu là \(C(t)\)) của bột xử lý nước trong hồ tại thời điểm \(t\) được tính bằng công thức:
\(C(t) = \frac{\text{Khối lượng bột}}{\text{Thể tích nước}}\)

Thay các biểu thức đã tìm được từ Bước 1 vào, ta có hàm số nồng độ:

\(C(t) = \frac{3t}{30 + 4t}\)

Trong đó, \(t \ge 0\).

Để tìm nồng độ không bao giờ vượt quá, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất (cận trên) của hàm số \(C(t)\) khi \(t\) thay đổi. Chúng ta có thể làm điều này bằng cách khảo sát sự biến thiên của hàm số hoặc tìm giới hạn của nó khi \(t \to +\infty\).

Chúng ta tính đạo hàm của \(C(t)\) để xét sự biến thiên của hàm số:

\(C'(t) = \left( \frac{3t}{30 + 4t} \right)’\)

Áp dụng công thức đạo hàm của một thương \(\left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\), với \(u = 3t\) và \(v = 30 + 4t\):

• \(u’ = (3t)’ = 3\)
• \(v’ = (30 + 4t)’ = 4\)

Thay vào công thức, ta được:

\(C'(t) = \frac{3(30 + 4t) – 3t(4)}{(30 + 4t)^2}\)

\(C'(t) = \frac{90 + 12t – 12t}{(30 + 4t)^2}\)

\(C'(t) = \frac{90}{(30 + 4t)^2}\)

Vì \(90 > 0\) và \((30 + 4t)^2 > 0\) với mọi \(t \ge 0\), nên ta có \(C'(t) > 0\) với mọi \(t \ge 0\).

Điều này chứng tỏ hàm số \(C(t)\) là một hàm số đồng biến (luôn tăng) trên đoạn \([0, +\infty)\). Nồng độ sẽ tăng dần theo thời gian.

Để tìm giá trị mà nồng độ không bao giờ vượt quá, chúng ta cần tìm giới hạn của \(C(t)\) khi \(t \to +\infty\).

Nồng độ sẽ tăng dần và tiến đến một giá trị giới hạn nào đó. Giá trị giới hạn này chính là giá trị mà nồng độ không bao giờ vượt qua.

Ta tìm giới hạn của \(C(t)\) khi \(t\) tiến tới vô cùng:

\(\lim_{t \to +\infty} C(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{3t}{30 + 4t}\)

Đây là dạng vô định \(\frac{\infty}{\infty}\). Để giải quyết, ta chia cả tử và mẫu cho \(t\) (bậc cao nhất của biến \(t\)):

\(\lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{3t}{t}}{\frac{30}{t} + \frac{4t}{t}}\)

\(\lim_{t \to +\infty} \frac{3}{\frac{30}{t} + 4}\)

Khi \(t \to +\infty\), thì \(\frac{30}{t} \to 0\).

Vậy:

\(\lim_{t \to +\infty} C(t) = \frac{3}{0 + 4} = \frac{3}{4} = 0,75\)

Vì hàm số nồng độ \(C(t)\) là hàm đồng biến và có giới hạn là \(0,75\) khi \(t \to +\infty\), điều này có nghĩa là nồng độ bột xử lý nước trong hồ sẽ luôn tăng lên nhưng sẽ không bao giờ đạt đến hoặc vượt quá giá trị \(0,75\) kg/khối. Nó chỉ tiến dần đến \(0,75\).

Vậy, nồng độ bột xử lý nước trong hồ không bao giờ vượt qua \(0,75\) kg/khối.

• A. \(12\)
• B. \(1,33\)
• C. \(0,75\)
• D. \(1\)

Chúng ta chọn phương án C. \(0,75\).