Chào em, cô hiểu em đang trong giai đoạn ôn thi quan trọng để chọn đội tuyển. Đừng lo lắng nhé, chúng ta cùng giải quyết bài toán này một cách chi tiết để em nắm vững kiến thức. Đây là một dạng bài khá hay và thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi đó!

—

Bài giải:

Cho phương trình: \(x^2 + mx + 2m – 7 = 0\) (1)

a, Giải phương trình với \(m = -2\).

Với \(m = -2\), thay vào phương trình (1), ta được:

\(x^2 + (-2)x + 2(-2) – 7 = 0\)

\(x^2 – 2x – 4 – 7 = 0\)

\(x^2 – 2x – 11 = 0\)

Đây là phương trình bậc hai với các hệ số \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -11\).

Tính biệt thức delta phẩy (\(\Delta’\)):

\(\Delta’ = b’^2 – ac\), với \(b’ = b/2 = -2/2 = -1\)

\(\Delta’ = (-1)^2 – (1)(-11)\)

\(\Delta’ = 1 + 11 = 12\)

Vì \(\Delta’ = 12 > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1 = \frac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-(-1) + \sqrt{12}}{1} = 1 + 2\sqrt{3}\)

\(x_2 = \frac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-(-1) – \sqrt{12}}{1} = 1 – 2\sqrt{3}\)

Vậy, với \(m = -2\), phương trình có hai nghiệm là \(x_1 = 1 + 2\sqrt{3}\) và \(x_2 = 1 – 2\sqrt{3}\).

b, Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(9x_1 = x_2^2\).

Bước 1: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Phương trình (1) là \(x^2 + mx + 2m – 7 = 0\).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, biệt thức \(\Delta\) phải lớn hơn 0.

\(\Delta = b^2 – 4ac = m^2 – 4(1)(2m – 7)\)

\(\Delta = m^2 – 8m + 28\)

Xét \(\Delta_m\) của biểu thức \(m^2 – 8m + 28\):

\(\Delta_m = (-8)^2 – 4(1)(28) = 64 – 112 = -48\)

Vì \(\Delta_m < 0\) và hệ số của \(m^2\) là \(1 > 0\), nên biểu thức \(m^2 – 8m + 28\) luôn dương với mọi giá trị của \(m\). Tức là \(\Delta > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Vậy, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét và điều kiện bài toán.

Theo hệ thức Vi-ét, với \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình (1), ta có:

\(x_1 + x_2 = -m\) (I)

\(x_1 x_2 = 2m – 7\) (II)

Theo giả thiết bài toán, ta có thêm điều kiện:

\(9x_1 = x_2^2\) (III)

Từ (III), suy ra \(x_1 = \frac{x_2^2}{9}\).

Thay \(x_1\) vào (I):

\(\frac{x_2^2}{9} + x_2 = -m\)

\(x_2^2 + 9x_2 = -9m\) (IV)

Thay \(x_1\) vào (II):

\(\left(\frac{x_2^2}{9}\right)x_2 = 2m – 7\)

\(\frac{x_2^3}{9} = 2m – 7\)

\(x_2^3 = 18m – 63\) (V)

Bây giờ ta có một hệ phương trình với hai ẩn \(x_2\) và \(m\):

\(x_2^2 + 9x_2 = -9m\) (IV)

\(x_2^3 = 18m – 63\) (V)

Từ (IV), ta có \(m = -\frac{x_2^2 + 9x_2}{9}\).

Thay biểu thức của \(m\) vào (V):

\(x_2^3 = 18 \left(-\frac{x_2^2 + 9x_2}{9}\right) – 63\)

\(x_2^3 = -2(x_2^2 + 9x_2) – 63\)

\(x_2^3 = -2x_2^2 – 18x_2 – 63\)

\(x_2^3 + 2x_2^2 + 18x_2 + 63 = 0\)

Bước 3: Giải phương trình bậc ba tìm \(x_2\).

Ta sẽ tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc ba này bằng cách thử các ước của 63 (\(\pm 1, \pm 3, \pm 7, \dots\)).

Thử với \(x_2 = -3\):

\((-3)^3 + 2(-3)^2 + 18(-3) + 63 = -27 + 2(9) – 54 + 63\)

\(= -27 + 18 – 54 + 63 = -9 – 54 + 63 = -63 + 63 = 0\)

Vậy \(x_2 = -3\) là một nghiệm của phương trình.

Ta có thể phân tích nhân tử phương trình bậc ba này bằng cách chia đa thức \(x_2^3 + 2x_2^2 + 18x_2 + 63\) cho \((x_2 + 3)\). Sử dụng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner, ta được:

\((x_2 + 3)(x_2^2 – x_2 + 21) = 0\)

Xét phương trình \(x_2^2 – x_2 + 21 = 0\).

Tính biệt thức \(\Delta’\) của phương trình này:

\(\Delta’ = (-1)^2 – 4(1)(21) = 1 – 84 = -83\)

Vì \(\Delta’ = -83 < 0\), phương trình \(x_2^2 - x_2 + 21 = 0\) vô nghiệm thực.

Vậy, nghiệm thực duy nhất của phương trình bậc ba là \(x_2 = -3\).

Bước 4: Tìm giá trị của \(m\).

Với \(x_2 = -3\), ta thay vào công thức \(m = -\frac{x_2^2 + 9x_2}{9}\):

\(m = -\frac{(-3)^2 + 9(-3)}{9}\)

\(m = -\frac{9 – 27}{9}\)

\(m = -\frac{-18}{9}\)

\(m = -(-2) = 2\)

Bước 5: Kiểm tra lại các điều kiện.

Với \(m = 2\), phương trình (1) trở thành:

\(x^2 + 2x + 2(2) – 7 = 0\)

\(x^2 + 2x – 3 = 0\)

Giải phương trình này:

Ta có \(a=1, b=2, c=-3\). \(a+b+c = 1+2-3 = 0\). Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x_1′ = 1\) và \(x_2′ = c/a = -3\).

Hai nghiệm này là phân biệt, thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Bây giờ ta kiểm tra điều kiện \(9x_1 = x_2^2\).

Nếu ta chọn \(x_1 = 1\) và \(x_2 = -3\):

\(9(1) = (-3)^2 \implies 9 = 9\). (Thỏa mãn)

Nếu ta chọn \(x_1 = -3\) và \(x_2 = 1\):

\(9(-3) = (1)^2 \implies -27 = 1\). (Không thỏa mãn)

Vậy, chỉ có một cách gán nghiệm thỏa mãn điều kiện là \(x_1 = 1\) và \(x_2 = -3\), và giá trị \(m=2\) là chính xác.

Kết luận:

Giá trị của \(m\) cần tìm là \(m = 2\).

—

Em thấy đó, bài toán này cần em kết hợp nhiều kiến thức: tính biệt thức, hệ thức Vi-ét, giải phương trình bậc ba và kiểm tra điều kiện. Đây là những kỹ năng rất quan trọng cho các kỳ thi đội tuyển. Cố gắng luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô.

Chúc em ôn tập thật tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!