Chào các em học sinh thân mến!

Đây là một bài toán rất thú vị, không chỉ giúp chúng ta ôn lại kiến thức về chuyển động mà còn có một câu chuyện tình yêu thật lãng mạn phía sau. Hãy cùng thầy/cô phân tích và giải quyết bài toán này nhé. Mặc dù có những yếu tố cảm xúc, nhưng khi chúng ta bóc tách từng dữ kiện, bài toán sẽ trở nên rất rõ ràng!

Phân tích đề bài và tóm tắt các dữ kiện quan trọng:

• Quãng đường mà cả hai người đi: \(S = 120 \text{ km}\).
• Cô gái xuất phát trước anh chàng 30 phút. Đổi ra giờ: \(30 \text{ phút} = 0.5 \text{ giờ}\).
• Anh chàng đến nơi trước cô gái 15 phút. Đổi ra giờ: \(15 \text{ phút} = 0.25 \text{ giờ}\).
• Vận tốc của anh chàng (đi xe ô tô) gấp đôi vận tốc của cô gái (đi xe máy).

Đặt ẩn số:

Để dễ dàng giải bài toán, chúng ta sẽ đặt các ẩn số:

• Gọi vận tốc của cô gái là \(v_c\) (đơn vị: km/h).
• Gọi vận tốc của anh chàng là \(v_a\) (đơn vị: km/h).
• Gọi thời gian cô gái đi hết quãng đường là \(t_c\) (đơn vị: giờ).
• Gọi thời gian anh chàng đi hết quãng đường là \(t_a\) (đơn vị: giờ).

Lập các phương trình từ dữ kiện đề bài:

1. Về quãng đường:

Cả hai người đều đi hết quãng đường \(120 \text{ km}\).

• Đối với cô gái: \(S = v_c \cdot t_c \implies 120 = v_c \cdot t_c\) (Phương trình 1)
• Đối với anh chàng: \(S = v_a \cdot t_a \implies 120 = v_a \cdot t_a\) (Phương trình 2)

2. Về mối quan hệ vận tốc:

Vận tốc của anh chàng gấp đôi vận tốc của cô gái:

• \(v_a = 2 \cdot v_c\) (Phương trình 3)

3. Về mối quan hệ thời gian:

Đây là phần quan trọng, các em cần chú ý phân tích kỹ lưỡng:

• Cô gái đi trước 30 phút (\(0.5 \text{ giờ}\)).
• Anh chàng đến đích trước cô gái 15 phút (\(0.25 \text{ giờ}\)).

Chúng ta hãy hình dung thế này:

• Giả sử cô gái bắt đầu đi lúc \(T_0\). Cô ấy đến đích lúc \(T_0 + t_c\).
• Anh chàng bắt đầu đi lúc \(T_0 + 0.5\). Anh ấy đến đích lúc \((T_0 + 0.5) + t_a\).

Theo đề bài, anh chàng đến đích trước cô gái \(0.25 \text{ giờ}\), nghĩa là:

\((T_0 + 0.5) + t_a = (T_0 + t_c) – 0.25\)

Bỏ \(T_0\) ở cả hai vế, ta được:

\(0.5 + t_a = t_c – 0.25\)

Chuyển vế để tìm mối quan hệ giữa \(t_a\) và \(t_c\):

\(t_a = t_c – 0.25 – 0.5\)

\(\implies t_a = t_c – 0.75\) (Phương trình 4)

Giải hệ phương trình:

Chúng ta có hệ 4 phương trình sau:

1. \(120 = v_c \cdot t_c\)
2. \(120 = v_a \cdot t_a\)
3. \(v_a = 2 \cdot v_c\)
4. \(t_a = t_c – 0.75\)

Bước 1: Thay (3) và (4) vào (2).

Từ (2): \(120 = v_a \cdot t_a\)

Thay \(v_a = 2 \cdot v_c\) (từ phương trình 3) vào:

\(120 = (2 \cdot v_c) \cdot t_a\)

Thay \(t_a = t_c – 0.75\) (từ phương trình 4) vào:

\(120 = 2 \cdot v_c \cdot (t_c – 0.75)\)

\(120 = 2 \cdot v_c \cdot t_c – 2 \cdot v_c \cdot 0.75\)

\(120 = 2 \cdot v_c \cdot t_c – 1.5 \cdot v_c\) (Phương trình 5)

Bước 2: Thay (1) vào (5).

Từ (1) chúng ta có: \(v_c \cdot t_c = 120\).

Thay giá trị này vào Phương trình 5:

\(120 = 2 \cdot (120) – 1.5 \cdot v_c\)

\(120 = 240 – 1.5 \cdot v_c\)

Chuyển vế để tìm \(v_c\):

\(1.5 \cdot v_c = 240 – 120\)

\(1.5 \cdot v_c = 120\)

\(v_c = \frac{120}{1.5}\)

\(v_c = \frac{120}{\frac{3}{2}}\)

\(v_c = 120 \cdot \frac{2}{3}\)

\(v_c = 40 \cdot 2\)

\(v_c = 80 \text{ km/h}\)

Bước 3: Tìm \(v_a\).

Sử dụng Phương trình 3: \(v_a = 2 \cdot v_c\)

\(v_a = 2 \cdot 80\)

\(v_a = 160 \text{ km/h}\)

Kiểm tra lại (không bắt buộc nhưng rất nên làm):

Tính thời gian của mỗi người:

• Thời gian cô gái đi: \(t_c = \frac{S}{v_c} = \frac{120}{80} = 1.5 \text{ giờ}\).
• Thời gian anh chàng đi: \(t_a = \frac{S}{v_a} = \frac{120}{160} = 0.75 \text{ giờ}\).

Kiểm tra mối quan hệ thời gian: \(t_a = t_c – 0.75\)

\(0.75 = 1.5 – 0.75\)

\(0.75 = 0.75\) (Điều này đúng!)

Vậy, kết quả của chúng ta là chính xác.

Kết luận:

Vậy là sau bao nhiêu gian nan, thử thách, tình yêu của họ đã được đền đáp xứng đáng. Anh chàng với tốc độ phi thường đã kịp chuẩn bị màn cầu hôn lãng mạn. Chúng ta đã tính toán được:

• Vận tốc xe máy của cô gái là \(80 \text{ km/h}\).
• Vận tốc xe ô tô của anh chàng là \(160 \text{ km/h}\).

Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách ứng dụng toán học vào các bài toán thực tế, dù là lãng mạn như thế này. Chúc các em luôn học tốt!