Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài toán liên quan đến phương trình lượng giác. Đây là những dạng bài tập thường gặp trong chương trình Toán lớp 11, giúp củng cố kiến thức về giải phương trình lượng giác cơ bản và điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác.

Bài toán a)

Đề bài: Số nghiệm của phương trình \(2\sin x – \sqrt{3} = 0\) trên đoạn \([0; 2\pi]\) là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản.

Phương trình đã cho là:
\(2\sin x – \sqrt{3} = 0\)

Để đưa về dạng \(\sin x = \text{số}\), ta chuyển hạng tử \(\sqrt{3}\) sang vế phải:

\(2\sin x = \sqrt{3}\)

Sau đó, chia cả hai vế cho 2:

\(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Bước 2: Tìm các nghiệm tổng quát của phương trình \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Chúng ta biết rằng giá trị \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) tương ứng với góc \(\frac{\pi}{3}\) hoặc \(\frac{2\pi}{3}\) trong đường tròn lượng giác.

Do đó, các nghiệm tổng quát của phương trình \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) là:

1) \(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\) (với \(k \in \mathbb{Z}\), tức \(k\) là số nguyên)

2) \(x = \pi – \frac{\pi}{3} + k2\pi = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\) (với \(k \in \mathbb{Z}\))

Bước 3: Tìm các nghiệm thuộc đoạn \([0; 2\pi]\).

Chúng ta sẽ xét từng trường hợp nghiệm tổng quát để tìm các giá trị \(k\) nguyên phù hợp.

Trường hợp 1: \(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\)

Vì \(x\) phải nằm trong đoạn \([0; 2\pi]\), nên ta có bất phương trình:

\(0 \le \frac{\pi}{3} + k2\pi \le 2\pi\)

Để giải bất phương trình này cho \(k\), ta chia cả ba vế cho \(\pi\):

\(0 \le \frac{1}{3} + 2k \le 2\)

Trừ \(\frac{1}{3}\) từ tất cả các vế:

\(0 – \frac{1}{3} \le 2k \le 2 – \frac{1}{3}\)
\(-\frac{1}{3} \le 2k \le \frac{5}{3}\)

Chia cả ba vế cho 2:

\(-\frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{6}\)

Vì \(k\) là số nguyên, giá trị nguyên duy nhất của \(k\) thỏa mãn điều kiện này là \(k = 0\).

Thay \(k = 0\) vào công thức nghiệm, ta được:

\(x = \frac{\pi}{3} + 0 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{3}\)

Giá trị này thuộc đoạn \([0; 2\pi]\).

Trường hợp 2: \(x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\)

Tương tự, ta có bất phương trình:

\(0 \le \frac{2\pi}{3} + k2\pi \le 2\pi\)

Chia cả ba vế cho \(\pi\):

\(0 \le \frac{2}{3} + 2k \le 2\)

Trừ \(\frac{2}{3}\) từ tất cả các vế:

\(0 – \frac{2}{3} \le 2k \le 2 – \frac{2}{3}\)
\(-\frac{2}{3} \le 2k \le \frac{4}{3}\)

Chia cả ba vế cho 2:

\(-\frac{1}{3} \le k \le \frac{2}{3}\)

Vì \(k\) là số nguyên, giá trị nguyên duy nhất của \(k\) thỏa mãn điều kiện này là \(k = 0\).

Thay \(k = 0\) vào công thức nghiệm, ta được:

\(x = \frac{2\pi}{3} + 0 \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{3}\)

Giá trị này cũng thuộc đoạn \([0; 2\pi]\).

Vậy, trên đoạn \([0; 2\pi]\), phương trình có hai nghiệm là \(x = \frac{\pi}{3}\) và \(x = \frac{2\pi}{3}\).

Kết luận: Phương trình \(2\sin x – \sqrt{3} = 0\) có 2 nghiệm trên đoạn \([0; 2\pi]\).

Bài toán b)

Đề bài: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\cos x = m + 1\) có nghiệm?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Nhắc lại tập giá trị của hàm số \(\cos x\).

Trong lượng giác, chúng ta đã học rằng hàm số \(\cos x\) luôn nhận giá trị trong một đoạn cố định. Cụ thể, với mọi số thực \(x\), giá trị của \(\cos x\) luôn nằm trong khoảng từ \(-1\) đến \(1\).

Tức là: \(-1 \le \cos x \le 1\).

Bước 2: Áp dụng điều kiện tồn tại nghiệm cho phương trình.

Để phương trình \(\cos x = m + 1\) có nghiệm, thì giá trị của vế phải, tức \(m + 1\), phải nằm trong tập giá trị của hàm số \(\cos x\).

Do đó, ta phải có điều kiện sau:

\(-1 \le m + 1 \le 1\)

Bước 3: Giải bất phương trình để tìm \(m\).

Để tìm khoảng giá trị của \(m\), ta sẽ giải bất phương trình kép trên. Chúng ta cần “loại bỏ” số \(1\) ở giữa bằng cách trừ \(1\) từ tất cả các vế của bất phương trình:

\(-1 – 1 \le m + 1 – 1 \le 1 – 1\)

Thực hiện các phép tính:

\(-2 \le m \le 0\)

Bước 4: Xác định các giá trị nguyên của \(m\).

Điều kiện \(-2 \le m \le 0\) có nghĩa là \(m\) là một số nguyên không nhỏ hơn \(-2\) và không lớn hơn \(0\).

Các số nguyên thỏa mãn điều kiện này là: \(-2\), \(-1\), \(0\).

Kết luận: Có 3 giá trị nguyên của tham số \(m\) (là \(-2, -1, 0\)) để phương trình \(\cos x = m + 1\) có nghiệm.