Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Đây là một phương pháp rất hữu ích để đơn giản hóa những bài toán phức tạp, đưa chúng về dạng quen thuộc hơn.

Chúng ta có hệ phương trình sau:
\(\left \{ {{\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}=\frac{5}{8}} \atop {\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y}=\frac{-3}{8}}} \right.\)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản hóa hệ phương trình.

Quan sát hệ phương trình, các em có thể thấy các biểu thức \(\frac{1}{x+y}\) và \(\frac{1}{x-y}\) xuất hiện nhiều lần. Đây chính là “ứng cử viên” hoàn hảo để đặt ẩn phụ.

Chúng ta đặt:

\(a = \frac{1}{x+y}\) (với điều kiện \(x+y \ne 0\))
\(b = \frac{1}{x-y}\) (với điều kiện \(x-y \ne 0\))

Khi đó, hệ phương trình ban đầu sẽ trở thành một hệ phương trình tuyến tính đơn giản hơn theo ẩn \(a\) và \(b\):

\(\left \{ {{a+b=\frac{5}{8}} \quad (1)} \atop {{a-b=\frac{-3}{8}} \quad (2)} \right.\)

Bước 2: Giải hệ phương trình theo ẩn phụ \(a\) và \(b\).

Hệ phương trình này rất dễ giải bằng phương pháp cộng đại số.

Cộng hai phương trình (1) và (2) vế theo vế, ta được:

\((a+b) + (a-b) = \frac{5}{8} + \left(\frac{-3}{8}\right)\)
\(2a = \frac{5-3}{8}\)
\(2a = \frac{2}{8}\)
\(2a = \frac{1}{4}\)
\(a = \frac{1}{4} : 2\)
\(a = \frac{1}{8}\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(a = \frac{1}{8}\) vào phương trình (1) (hoặc (2)), ta được:

\(\frac{1}{8} + b = \frac{5}{8}\)
\(b = \frac{5}{8} – \frac{1}{8}\)
\(b = \frac{4}{8}\)
\(b = \frac{1}{2}\)

Vậy, chúng ta đã tìm được \(a = \frac{1}{8}\) và \(b = \frac{1}{2}\).

Bước 3: Thay trở lại ẩn cũ để tìm \(x\) và \(y\).

Chúng ta nhớ lại cách đặt ẩn phụ ở Bước 1:

\(a = \frac{1}{x+y}\) và \(b = \frac{1}{x-y}\)

Với \(a = \frac{1}{8}\), ta có:
\(\frac{1}{x+y} = \frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow x+y = 8 \quad (3)\)

Với \(b = \frac{1}{2}\), ta có:
\(\frac{1}{x-y} = \frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x-y = 2 \quad (4)\)

Bây giờ, chúng ta lại có một hệ phương trình tuyến tính mới theo \(x\) và \(y\):

\(\left \{ {{x+y=8} \quad (3)} \atop {{x-y=2} \quad (4)} \right.\)

Chúng ta tiếp tục giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số:

Cộng hai phương trình (3) và (4) vế theo vế, ta được:

\((x+y) + (x-y) = 8 + 2\)
\(2x = 10\)
\(x = 5\)

Thay giá trị \(x = 5\) vào phương trình (3), ta được:

\(5 + y = 8\)
\(y = 8 – 5\)
\(y = 3\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Chúng ta kiểm tra lại các điều kiện \(x+y \ne 0\) và \(x-y \ne 0\):

Với \(x=5\) và \(y=3\):
\(x+y = 5+3 = 8 \ne 0\) (Thỏa mãn)
\(x-y = 5-3 = 2 \ne 0\) (Thỏa mãn)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x; y) = (5; 3)\).

Lời kết:

Qua bài tập này, các em thấy rằng phương pháp đặt ẩn phụ giúp chúng ta chuyển một hệ phương trình phức tạp về dạng đơn giản hơn, dễ giải hơn rất nhiều. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo phương pháp này nhé!