Để tìm ba chữ số tận cùng của một số, chúng ta cần tìm số dư của số đó khi chia cho 1000. Nói cách khác, chúng ta cần tính \(2004^{200} \pmod{1000}\).

Bước 1: Rút gọn cơ số.

Ta có: \(2004 \equiv 4 \pmod{1000}\).

Vì vậy, bài toán trở thành tìm ba chữ số tận cùng của \(4^{200}\), tức là tính \(4^{200} \pmod{1000}\).

Bước 2: Tính các lũy thừa của 4 theo modulo 1000.

Chúng ta sẽ tính dần các lũy thừa của 4 và chỉ giữ lại ba chữ số tận cùng (số dư khi chia cho 1000) ở mỗi bước:

• \(4^1 = 4\)
• \(4^2 = 16\)
• \(4^3 = 64\)
• \(4^4 = 256\)
• \(4^5 = 1024 \equiv 24 \pmod{1000}\)

Bây giờ, chúng ta cần tính \(4^{200}\). Để làm điều này một cách hiệu quả, chúng ta có thể dùng phương pháp “bình phương liên tiếp” (hay còn gọi là lũy thừa nhị phân). Chúng ta sẽ tính \(4^{10}\), rồi \(4^{20}\), \(4^{40}\), \(4^{80}\), \(4^{160}\) và cuối cùng là kết hợp lại.

Bước 3: Bình phương liên tiếp.

Chúng ta đã có \(4^5 \equiv 24 \pmod{1000}\).

Giờ ta tính \(4^{10}\):

• \(4^{10} = (4^5)^2 \equiv 24^2 \pmod{1000}\)
• \(24^2 = 576\)
• Vậy, \(4^{10} \equiv 576 \pmod{1000}\)

Tiếp theo là \(4^{20}\):

• \(4^{20} = (4^{10})^2 \equiv 576^2 \pmod{1000}\)
• Để tính \(576^2\), chúng ta chỉ quan tâm đến ba chữ số tận cùng. Ta có thể viết \(576^2 = 576 \times 576\).
  
  \(576 \times 576 = 331776\)
  
• Vậy, \(4^{20} \equiv 776 \pmod{1000}\) (lấy ba chữ số tận cùng)

Tiếp theo là \(4^{40}\):

• \(4^{40} = (4^{20})^2 \equiv 776^2 \pmod{1000}\)
• \(776^2 = 776 \times 776 = 602176\)
• Vậy, \(4^{40} \equiv 176 \pmod{1000}\)

Tiếp theo là \(4^{80}\):

• \(4^{80} = (4^{40})^2 \equiv 176^2 \pmod{1000}\)
• \(176^2 = 30976\)
• Vậy, \(4^{80} \equiv 976 \pmod{1000}\)

Tiếp theo là \(4^{160}\):

• \(4^{160} = (4^{80})^2 \equiv 976^2 \pmod{1000}\)
• Lưu ý rằng \(976 \equiv -24 \pmod{1000}\)
• Vậy, \(976^2 \equiv (-24)^2 = 576 \pmod{1000}\)
• Hay, \(4^{160} \equiv 576 \pmod{1000}\)

Bước 4: Kết hợp các kết quả để tính \(4^{200}\).

Ta cần tính \(4^{200}\). Ta có thể viết \(200 = 160 + 40\).

• \(4^{200} = 4^{160} \times 4^{40}\)
• \(4^{200} \equiv 576 \times 176 \pmod{1000}\)

Bây giờ, chúng ta cần tính \(576 \times 176\) và lấy ba chữ số tận cùng:

• \(576 \times 176 = 101376\)

Lấy ba chữ số tận cùng của 101376, ta được 376.

Vậy, \(576 \times 176 \equiv 376 \pmod{1000}\).

Kết luận:

Ba chữ số tận cùng của \(2004^{200}\) là 376.

Cô hy vọng cách giải chi tiết này giúp em hiểu rõ bài toán nhé!