Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, cô/thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán liên quan đến căn bậc hai và lũy thừa. Đây là một dạng bài rất hay, giúp chúng ta ôn lại nhiều kiến thức quan trọng đã học. Các em cùng chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Giải phương trình sau:

\(\sqrt{2^{2x-3}} + \sqrt{2^{2x-5}} = 6\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc về lũy thừa và căn bậc hai một cách khéo léo. Hãy cùng phân tích từng bước nhé.

Bước 1: Phân tích và đơn giản hóa các biểu thức dưới dấu căn.

Chúng ta nhận thấy rằng trong hai biểu thức dưới dấu căn, số mũ nhỏ nhất là \(2x-5\). Chúng ta có thể biến đổi số mũ còn lại về dạng chứa \(2x-5\).

Ta có: \(2x-3 = (2x-5) + 2\)

Vì vậy, biểu thức \(2^{2x-3}\) có thể viết lại thành:

\(2^{2x-3} = 2^{(2x-5)+2} = 2^{2x-5} \cdot 2^2\)

Khi đó, phương trình ban đầu sẽ trở thành:

\(\sqrt{2^{2x-5} \cdot 2^2} + \sqrt{2^{2x-5}} = 6\)

Bước 2: Áp dụng quy tắc khai căn của một tích.

Các em còn nhớ quy tắc \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) chứ? Chúng ta sẽ áp dụng nó vào vế trái của phương trình.

Biểu thức \(\sqrt{2^{2x-5} \cdot 2^2}\) sẽ được khai triển thành:

\(\sqrt{2^{2x-5}} \cdot \sqrt{2^2}\)

Mà \(\sqrt{2^2} = \sqrt{4} = 2\)

Vậy, \(\sqrt{2^{2x-5} \cdot 2^2} = 2 \cdot \sqrt{2^{2x-5}}\)

Khi đó, phương trình của chúng ta sẽ gọn hơn rất nhiều:

\(2 \cdot \sqrt{2^{2x-5}} + \sqrt{2^{2x-5}} = 6\)

Bước 3: Đặt ẩn phụ để đơn giản hóa phương trình.

Các em có thấy biểu thức \(\sqrt{2^{2x-5}}\) xuất hiện lặp lại không? Để dễ nhìn và dễ tính toán hơn, chúng ta hãy đặt ẩn phụ nhé.

Đặt \(y = \sqrt{2^{2x-5}}\)

Lưu ý: Vì \(y\) là kết quả của một căn bậc hai, nên \(y\) phải là một số không âm, tức là \(y \ge 0\). (Trong trường hợp này, \(2^{2x-5}\) luôn dương nên căn của nó cũng luôn dương).

Thay \(y\) vào phương trình, ta được:

\(2y + y = 6\)

Bước 4: Giải phương trình với ẩn phụ.

Đây là một phương trình bậc nhất rất đơn giản:

\(3y = 6\)

\(y = \frac{6}{3}\)

\(y = 2\)

Giá trị \(y=2\) này thỏa mãn điều kiện \(y \ge 0\).

Bước 5: Thay ngược ẩn phụ và tìm giá trị của x.

Chúng ta đã tìm được \(y=2\). Bây giờ, hãy thay \(y\) trở lại biểu thức ban đầu mà chúng ta đã đặt:

\(\sqrt{2^{2x-5}} = 2\)

Để loại bỏ dấu căn bậc hai, chúng ta sẽ bình phương cả hai vế của phương trình:

\((\sqrt{2^{2x-5}})^2 = 2^2\)

\(2^{2x-5} = 4\)

Chúng ta biết rằng \(4 = 2^2\). Vậy phương trình trở thành:

\(2^{2x-5} = 2^2\)

Khi hai lũy thừa có cùng cơ số (ở đây là 2) bằng nhau, thì số mũ của chúng cũng phải bằng nhau. Do đó:

\(2x-5 = 2\)

Bước 6: Giải phương trình bậc nhất để tìm x.

Đây lại là một phương trình bậc nhất cơ bản:

\(2x = 2 + 5\)

\(2x = 7\)

\(x = \frac{7}{2}\)

Kiểm tra lại nghiệm (không bắt buộc nhưng rất nên làm):

Để chắc chắn rằng nghiệm vừa tìm được là đúng, chúng ta hãy thay \(x = \frac{7}{2}\) vào phương trình ban đầu:

• Khi \(x = \frac{7}{2}\):
• \(2x-3 = 2 \cdot \frac{7}{2} – 3 = 7 – 3 = 4\)
• \(2x-5 = 2 \cdot \frac{7}{2} – 5 = 7 – 5 = 2\)

Thay vào phương trình:

\(\sqrt{2^{4}} + \sqrt{2^{2}}\)

\(\sqrt{16} + \sqrt{4}\)

\(4 + 2\)

\(6\)

Vế trái bằng 6, đúng bằng vế phải của phương trình. Vậy nghiệm \(x = \frac{7}{2}\) là chính xác!

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{7}{2}\).

Các em thấy không, một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích, áp dụng đúng các quy tắc và đặt ẩn phụ hợp lý, thì sẽ trở nên rất đơn giản. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!

Chúc các em học tốt!