Đề bài:

Cho biết \(1^2+2^2+3^2+…+6^2=91\). Hãy tính \(S = 5^2+10^2+15^2+…+36^2\).

Và đặc biệt, bạn nào giải được bài này sẽ là “trai xinh, gái đẹp” đó nhé!

Phân tích đề bài:

Chúng ta được cho trước tổng của các bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến 6. Nhiệm vụ của chúng ta là tính một tổng S mới, trong đó các số hạng đều là bình phương của các bội số của 5.

Các bước giải:

Bước 1: Viết lại tổng S dưới dạng rõ ràng hơn.

Ta thấy các số hạng trong tổng S đều là bình phương của các bội số của 5:

• \(5^2 = (5 \times 1)^2\)
• \(10^2 = (5 \times 2)^2\)
• \(15^2 = (5 \times 3)^2\)
• …
• \(36^2\) – À, ở đây có một chút nhầm lẫn nhỏ trong đề bài rồi các em ạ. Số cuối cùng là \(36^2\). Nếu theo quy luật các bội số của 5, thì số hạng cuối cùng phải là \(35^2\) (tức là \(5 \times 7\)). Tuy nhiên, cô giáo sẽ giải theo đúng đề bài đã cho là đến \(36^2\). Có thể đề bài muốn kiểm tra khả năng phát hiện lỗi hoặc muốn chúng ta xem xét trường hợp đặc biệt.

  Tuy nhiên, để bài toán có quy luật đẹp và có thể áp dụng kiến thức đã học, cô giáo xin phép điều chỉnh số hạng cuối cùng của S thành \(35^2\), tức là \(S = 5^2+10^2+15^2+…+35^2\). Nếu đề bài đúng là \(36^2\), thì bài toán sẽ phức tạp hơn và không có công thức áp dụng trực tiếp từ thông tin đã cho.

  Vậy, ta có:

  \(S = (5 \times 1)^2 + (5 \times 2)^2 + (5 \times 3)^2 + … + (5 \times 7)^2\)

Bước 2: Áp dụng quy tắc lũy thừa của một tích.

Chúng ta nhớ lại quy tắc \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \). Áp dụng quy tắc này cho từng số hạng trong tổng S:

• \((5 \times 1)^2 = 5^2 \times 1^2\)
• \((5 \times 2)^2 = 5^2 \times 2^2\)
• \((5 \times 3)^2 = 5^2 \times 3^2\)
• …
• \((5 \times 7)^2 = 5^2 \times 7^2\)

Bước 3: Viết lại tổng S với dạng mới.

Thay các biểu thức đã biến đổi vào tổng S:

\(S = (5^2 \times 1^2) + (5^2 \times 2^2) + (5^2 \times 3^2) + … + (5^2 \times 7^2)\)

Bước 4: Đặt thừa số chung.

Chúng ta nhận thấy rằng \(5^2\) là thừa số chung của tất cả các số hạng trong tổng. Ta có thể đặt \(5^2\) ra ngoài dấu ngoặc:

\(S = 5^2 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + … + 7^2)\)

Bước 5: Tính giá trị của \(5^2\).

\(5^2 = 5 \times 5 = 25\)

Bước 6: Tính tổng các bình phương từ \(1^2\) đến \(7^2\).

Đề bài cho biết \(1^2+2^2+3^2+…+6^2=91\). Bây giờ chúng ta cần tính \(1^2+2^2+3^2+…+7^2\). Ta chỉ cần cộng thêm \(7^2\) vào kết quả đã cho:

• \(7^2 = 7 \times 7 = 49\)
• \(1^2+2^2+3^2+…+7^2 = (1^2+2^2+3^2+…+6^2) + 7^2\)
• \(1^2+2^2+3^2+…+7^2 = 91 + 49\)
• \(1^2+2^2+3^2+…+7^2 = 140\)

Bước 7: Hoàn thành phép tính S.

Bây giờ, chúng ta thay các giá trị đã tính được vào công thức S:

\(S = 5^2 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + … + 7^2)\)
\(S = 25 \times 140\)

Để nhân \(25 \times 140\), ta có thể làm như sau:

\(25 \times 140 = 25 \times (100 + 40)\)
\( = 25 \times 100 + 25 \times 40\)
\( = 2500 + 1000\)
\( = 3500\)

Vậy, \(S = 3500\).

Kết luận:

Chúng ta đã tính được \(S = 5^2+10^2+15^2+…+35^2 = 3500\).

Chúc mừng các em đã cùng cô giáo chinh phục bài toán này! Các em đều xứng đáng là “trai xinh, gái đẹp” vì đã rất cố gắng và thông minh!

Lưu ý quan trọng: Như cô giáo đã phân tích ở Bước 1, nếu đề bài gốc là \(S = 5^2+10^2+15^2+…+36^2\), thì bài toán sẽ không thể giải bằng phương pháp này vì 36 không phải là bội số của 5. Cô giáo đã giải với giả định số hạng cuối cùng là \(35^2\) để bài toán có thể áp dụng được thông tin đã cho.