Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về đa thức.

Bài toán: Tìm số a để đa thức \(x^3 + x^2 – x + a\) chia hết cho đa thức \(x + 2\).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng Định lý về số dư (hay còn gọi là Định lý Bezout). Định lý này phát biểu rằng:

Một đa thức \(P(x)\) chia hết cho đa thức \(x – c\) khi và chỉ khi \(P(c) = 0\).

Trong bài toán của chúng ta, đa thức bị chia là \(P(x) = x^3 + x^2 – x + a\). Đa thức chia là \(x + 2\). Để \(P(x)\) chia hết cho \(x + 2\), chúng ta cần viết đa thức chia dưới dạng \(x – c\). Trong trường hợp này, \(x + 2 = x – (-2)\), vậy \(c = -2\).

Theo Định lý về số dư, để \(P(x)\) chia hết cho \(x + 2\), ta cần có \(P(-2) = 0\).

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(x = -2\) vào đa thức \(P(x)\) và cho kết quả bằng 0:

\(P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 – (-2) + a = 0\)

Hãy tính toán từng bước:

\((-2)^3 = -8\)

\((-2)^2 = 4\)

\(-(-2) = +2\)

Thay các giá trị này vào phương trình:

\(-8 + 4 + 2 + a = 0\)

Bây giờ, chúng ta cộng các số hạng lại:

\(-8 + 4 + 2 = -4 + 2 = -2\)

Vậy, phương trình trở thành:

\(-2 + a = 0\)

Để tìm \(a\), chúng ta chuyển \(-2\) sang vế phải:

\(a = 0 + 2\)

\(a = 2\)

Vậy, để đa thức \(x^3 + x^2 – x + a\) chia hết cho đa thức \(x + 2\), giá trị của \(a\) phải bằng 2.

Để kiểm tra lại, chúng ta có thể thay \(a = 2\) vào đa thức ban đầu và thực hiện phép chia đa thức.

Đa thức là: \(x^3 + x^2 – x + 2\)

Chia cho \(x + 2\).

Nếu chúng ta làm phép chia, chúng ta sẽ thấy kết quả là một đa thức và số dư bằng 0.

Các em có thể tự thực hiện phép chia này để củng cố kiến thức.

Kết luận: Với \(a = 2\), đa thức \(x^3 + x^2 – x + 2\) chia hết cho đa thức \(x + 2\).

Chúc các em học tốt!