À, xem ra thầy hơi chậm rồi, lúc nãy vừa mới thấy tỉ số 1-0 cho đội nhà, quay qua giảng bài có 2-3 phút mà giờ đã 2-0 rồi kìa! Hay quá! Thôi, niềm vui đó sẽ tiếp thêm động lực cho chúng ta giải quyết bài toán này thật “ngon lành” nhé!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng “đánh gục” một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, trông có vẻ hơi “lạ mắt” một chút nhưng nếu biết cách biến đổi và áp dụng đúng công cụ thì sẽ trở nên khá “hiền lành” đấy!

Đề bài:
Cho \(a;b;c >0\) thỏa \(1/a^2+1/b^2+1/c^2 =1.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P= \sum \frac{a^2 b^2}{c(a^2+b^2)}\)

—

Nào, chúng ta cùng phân tích đề bài một chút nhé!

* Đầu tiên, các biến \(a,b,c\) đều dương. Cái này quan trọng để tránh trường hợp chia cho 0 hay căn bậc hai của số âm.
* Thứ hai, điều kiện \(1/a^2+1/b^2+1/c^2 =1.\) Đây là một điều kiện ràng buộc. Dạng này gợi ý chúng ta nên đặt ẩn phụ để “đơn giản hóa” nó.
* Thứ ba, biểu thức \(P\). Kí hiệu \(\sum\) nghĩa là tổng hoán vị vòng quanh. Cụ thể,
\(P = \frac{a^2 b^2}{c(a^2+b^2)} + \frac{b^2 c^2}{a(b^2+c^2)} + \frac{c^2 a^2}{b(c^2+a^2)}\).
Trông có vẻ “cồng kềnh” đúng không?

Bước 1: “Làm đẹp” biểu thức bằng cách đặt ẩn phụ

Nhìn vào điều kiện \(1/a^2+1/b^2+1/c^2 =1\), chúng ta có thể nghĩ ngay đến việc đặt:
\(x = \frac{1}{a^2}\), \(y = \frac{1}{b^2}\), \(z = \frac{1}{c^2}\).
Khi đó, điều kiện của đề bài sẽ trở thành:
\(x+y+z = 1\). (Đơn giản hơn rất nhiều!)

Bây giờ, chúng ta cần biểu diễn biểu thức \(P\) theo \(x, y, z\).
Từ cách đặt ẩn phụ, ta có:
\(a^2 = \frac{1}{x}\), \(b^2 = \frac{1}{y}\), \(c^2 = \frac{1}{z}\).
Và đặc biệt, \(c = \frac{1}{\sqrt{z}}\) (vì \(c>0\)).

Hãy xem xét một hạng tử của \(P\), ví dụ: \(\frac{a^2 b^2}{c(a^2+b^2)}\).
Thay thế \(a^2, b^2, c\) bằng các biến \(x,y,z\):
\(\frac{a^2 b^2}{c(a^2+b^2)} = \frac{\left(\frac{1}{x}\right) \left(\frac{1}{y}\right)}{\frac{1}{\sqrt{z}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}\)
\( = \frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{\sqrt{z}}\left(\frac{y+x}{xy}\right)}\)
\( = \frac{\frac{1}{xy}}{\frac{x+y}{\sqrt{z}xy}}\)
\( = \frac{1}{xy} \cdot \frac{\sqrt{z}xy}{x+y}\)
\( = \frac{\sqrt{z}}{x+y}\)

Ồ, thật bất ngờ! Mỗi hạng tử đã trở nên rất gọn gàng!
Vậy biểu thức \(P\) của chúng ta bây giờ là:
\(P = \frac{\sqrt{x}}{y+z} + \frac{\sqrt{y}}{x+z} + \frac{\sqrt{z}}{x+y}\)
Với điều kiện \(x,y,z > 0\) và \(x+y+z=1\).

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức mới

Bài toán trở thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{\sqrt{x}}{y+z} + \frac{\sqrt{y}}{x+z} + \frac{\sqrt{z}}{x+y}\) với \(x,y,z > 0\) và \(x+y+z=1\).

Vì \(x+y+z=1\), ta có thể thay thế mẫu số:
\(y+z = 1-x\)
\(x+z = 1-y\)
\(x+y = 1-z\)

Vậy \(P = \frac{\sqrt{x}}{1-x} + \frac{\sqrt{y}}{1-y} + \frac{\sqrt{z}}{1-z}\).

Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta thường thử xem dấu bằng xảy ra khi nào. Đối với các bài toán đối xứng như thế này, dấu bằng thường xảy ra khi \(x=y=z\).
Nếu \(x=y=z\) và \(x+y+z=1\), thì \(x=y=z=1/3\).
Khi đó, mỗi hạng tử sẽ là:
\(\frac{\sqrt{1/3}}{1-1/3} = \frac{1/\sqrt{3}}{2/3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Vậy, giá trị \(P\) tại điểm này là \(3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\).
Đây chính là giá trị nhỏ nhất mà chúng ta dự đoán!

Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng \(\frac{\sqrt{x}}{1-x} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}x\) (hoặc các bất đẳng thức tương tự cho y, z).
Hay, \(\frac{1}{\sqrt{x}(1-x)} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}\).
Điều này tương đương với việc chứng minh \(\sqrt{x}(1-x) \le \frac{2}{3\sqrt{3}}\).
Chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng – Trung bình nhân).

Xét biểu thức \(\sqrt{x}(1-x)\). Để áp dụng AM-GM, chúng ta thường cần các số có tổng không đổi.
Hãy biến đổi \(\sqrt{x}(1-x)\) một chút để nó có dạng \(A \cdot B \cdot C\) với \(A+B+C = \text{const}\).
Ta có \((\sqrt{x}(1-x))^2 = x(1-x)^2 = x(1-x)(1-x)\).
Để áp dụng AM-GM cho 3 số, ta cần tổng của chúng là một hằng số.
Nhận thấy khi \(x=1/3\), thì \(1-x = 2/3\).
Ta có thể “điều chỉnh” \(x\) và \(1-x\) để chúng có tỉ lệ phù hợp cho AM-GM.
Hãy xét 3 số: \(x\), \(\frac{1-x}{2}\) và \(\frac{1-x}{2}\).
Tổng của 3 số này là: \(x + \frac{1-x}{2} + \frac{1-x}{2} = x + (1-x) = 1\). (Đây là hằng số!)

Theo bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương, ta có:
\(\frac{x + \frac{1-x}{2} + \frac{1-x}{2}}{3} \ge \sqrt[3]{x \cdot \frac{1-x}{2} \cdot \frac{1-x}{2}}\)
\(\frac{1}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{x(1-x)^2}{4}}\)

Lập phương hai vế:
\(\left(\frac{1}{3}\right)^3 \ge \frac{x(1-x)^2}{4}\)
\(\frac{1}{27} \ge \frac{x(1-x)^2}{4}\)
\(x(1-x)^2 \le \frac{4}{27}\)

Vì \((\sqrt{x}(1-x))^2 = x(1-x)^2\), ta có:
\((\sqrt{x}(1-x))^2 \le \frac{4}{27}\)
Lấy căn bậc hai cả hai vế (vì \(\sqrt{x}(1-x) > 0\)):
\(\sqrt{x}(1-x) \le \sqrt{\frac{4}{27}}\)
\(\sqrt{x}(1-x) \le \frac{2}{\sqrt{27}}\)
\(\sqrt{x}(1-x) \le \frac{2}{3\sqrt{3}}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1-x}{2}\).
\(2x = 1-x\)
\(3x = 1\)
\(x = 1/3\). (Đúng như dự đoán!)

Quay trở lại với biểu thức \(\frac{\sqrt{x}}{1-x}\):
Chúng ta có \(\frac{\sqrt{x}}{1-x} = \frac{x}{\sqrt{x}(1-x)}\).
Vì \(\sqrt{x}(1-x) \le \frac{2}{3\sqrt{3}}\), nên \(\frac{1}{\sqrt{x}(1-x)} \ge \frac{1}{2/(3\sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\).
Vậy, nhân cả hai vế với \(x > 0\):
\(\frac{x}{\sqrt{x}(1-x)} \ge x \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Hay \(\frac{\sqrt{x}}{1-x} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}x\).

Áp dụng tương tự cho các hạng tử còn lại:
\(\frac{\sqrt{y}}{1-y} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}y\)
\(\frac{\sqrt{z}}{1-z} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}z\)

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được:
\(P = \frac{\sqrt{x}}{1-x} + \frac{\sqrt{y}}{1-y} + \frac{\sqrt{z}}{1-z} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}x + \frac{3\sqrt{3}}{2}y + \frac{3\sqrt{3}}{2}z\)
\(P \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}(x+y+z)\)

Mà \(x+y+z=1\), nên:
\(P \ge \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1\)
\(P \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Bước 4: Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1/3\).
Trở lại với các biến \(a,b,c\):
\(x = 1/a^2 = 1/3 \implies a^2 = 3 \implies a = \sqrt{3}\) (vì \(a>0\))
Tương tự, \(b = \sqrt{3}\) và \(c = \sqrt{3}\).

Kiểm tra lại: Nếu \(a=b=c=\sqrt{3}\), thì \(1/a^2+1/b^2+1/c^2 = 1/3+1/3+1/3=1\). (Thỏa mãn điều kiện).
Giá trị của \(P\) là:
\(P = \frac{(\sqrt{3})^2 (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}((\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2)} + \frac{(\sqrt{3})^2 (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}((\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2)} + \frac{(\sqrt{3})^2 (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}((\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2)}\)
\(P = 3 \cdot \frac{3 \cdot 3}{\sqrt{3}(3+3)}\)
\(P = 3 \cdot \frac{9}{6\sqrt{3}}\)
\(P = 3 \cdot \frac{3}{2\sqrt{3}}\)
\(P = 3 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{6} = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) khi \(a=b=c=\sqrt{3}\).

—

Các em thấy đấy, một bài toán trông có vẻ “ghê gớm” ban đầu nhưng qua vài bước biến đổi, đặt ẩn phụ và áp dụng bất đẳng thức AM-GM đã trở nên thật dễ chịu phải không nào? Quan trọng là chúng ta phải bình tĩnh phân tích, tìm ra “chìa khóa” biến đổi (ở đây là đặt ẩn phụ) và sau đó là “dự đoán” điểm rơi để tìm ra bất đẳng thức phù hợp để chứng minh.

Thôi, thầy phải quay lại xem bóng đá đây! Chúc các em học tốt nhé! Hẹn gặp lại trong những bài toán thú vị khác!