Đề bài: Một khu đất hình chữ nhật có diện tích 600m². Người ta muốn rào xung quanh bằng hai loại dây: Cạnh dài dùng loại dây giá 15000 đ/m, cạnh ngắn dùng loại dây giá 10000 đ/m. Tìm kích thước khu đất sao cho chi phí rào thấp nhất.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi các biến số và thiết lập các mối quan hệ

Gọi kích thước hai cạnh của khu đất hình chữ nhật là \(l\) (mét) và \(w\) (mét).

Theo đề bài, diện tích khu đất là 600m². Vậy ta có phương trình:

\(l \cdot w = 600 \quad (1)\)

Theo quy ước cạnh dài và cạnh ngắn, ta giả sử \(l\) là cạnh dài và \(w\) là cạnh ngắn. Điều này có nghĩa là \(l \ge w\).

Chi phí rào xung quanh khu đất bao gồm 2 cạnh dài và 2 cạnh ngắn.

• Chi phí cho 2 cạnh dài: \(2 \cdot l \cdot 15000\) (đồng)
• Chi phí cho 2 cạnh ngắn: \(2 \cdot w \cdot 10000\) (đồng)

Tổng chi phí rào là \(C\):

\(C = 2l \cdot 15000 + 2w \cdot 10000\)

\(C = 30000l + 20000w \quad (2)\)

Bước 2: Biểu diễn chi phí theo một biến số

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(w\) theo \(l\):

\(w = \frac{600}{l}\)

Thay biểu thức của \(w\) vào phương trình (2), ta được hàm chi phí \(C\) theo biến \(l\):

\(C(l) = 30000l + 20000 \cdot \frac{600}{l}\)

\(C(l) = 30000l + \frac{12000000}{l}\)

Bước 3: Xác định miền giá trị của biến \(l\)

Chúng ta đã giả sử \(l\) là cạnh dài và \(w\) là cạnh ngắn, tức là \(l \ge w\).

Thay \(w = \frac{600}{l}\) vào điều kiện \(l \ge w\), ta có:

\(l \ge \frac{600}{l}\)

Vì \(l\) là độ dài cạnh nên \(l > 0\). Nhân cả hai vế với \(l\) (số dương) thì bất đẳng thức không đổi chiều:

\(l^2 \ge 600\)

\(l \ge \sqrt{600}\)

\(l \ge \sqrt{100 \cdot 6}\)

\(l \ge 10\sqrt{6}\)

Giá trị xấp xỉ của \(10\sqrt{6}\) là khoảng \(10 \cdot 2.449 = 24.49\). Vậy, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(C(l)\) trong miền \(l \ge 10\sqrt{6}\).

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(C(l) = 30000l + \frac{12000000}{l}\), chúng ta có thể sử dụng Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương.

Với hai số dương \(A\) và \(B\), ta có \(A + B \ge 2\sqrt{AB}\). Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\).

Áp dụng vào \(C(l)\), đặt \(A = 30000l\) và \(B = \frac{12000000}{l}\) (cả hai đều dương vì \(l > 0\)):

\(C(l) \ge 2 \cdot \sqrt{30000l \cdot \frac{12000000}{l}}\)

\(C(l) \ge 2 \cdot \sqrt{30000 \cdot 12000000}\)

\(C(l) \ge 2 \cdot \sqrt{360000000000}\)

\(C(l) \ge 2 \cdot \sqrt{36 \cdot 10^{10}}\)

\(C(l) \ge 2 \cdot 6 \cdot 10^5\)

\(C(l) \ge 1200000\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm \(C(l)\) (không có điều kiện \(l \ge w\)) là 1,200,000 đồng.

Dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi \(A = B\), tức là:

\(30000l = \frac{12000000}{l}\)

\(30000l^2 = 12000000\)

\(l^2 = \frac{12000000}{30000}\)

\(l^2 = 400\)

\(l = \sqrt{400} = 20\) (vì \(l > 0\))

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra giá trị \(l=20\) với điều kiện của mình: \(l \ge 10\sqrt{6}\).

Ta có \(20 \approx 20\), còn \(10\sqrt{6} \approx 24.49\).

Rõ ràng \(20 < 24.49\), tức là \(l=20\) không thỏa mãn điều kiện \(l \ge 10\sqrt{6}\).

Điều này có nghĩa là điểm mà tại đó hàm \(C(l)\) đạt giá trị nhỏ nhất toàn cục (global minimum) nằm ngoài miền xác định của chúng ta.

Chúng ta biết rằng hàm số \(f(x) = Ax + \frac{B}{x}\) (với \(A, B > 0\)) có đạo hàm là \(f'(x) = A – \frac{B}{x^2}\).

Nếu dùng kiến thức lớp 9 thì ta lập bảng biến thiên (hoặc xét dấu) của hàm số \(C(l)\) khi \(l > 0\).

Ta thấy rằng tại \(l=20\), hàm số đạt cực tiểu.

• Khi \(0 < l < 20\), \(C(l)\) giảm.
• Khi \(l > 20\), \(C(l)\) tăng.

Vì miền giá trị của chúng ta là \(l \ge 10\sqrt{6} \approx 24.49\), tức là \(l > 20\). Trong miền này, hàm \(C(l)\) là hàm đồng biến (tăng).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(C(l)\) trong miền \(l \ge 10\sqrt{6}\) sẽ đạt được tại giá trị nhỏ nhất của \(l\) trong miền đó, chính là \(l = 10\sqrt{6}\).

Khi \(l = 10\sqrt{6}\) (m), ta tính \(w\):

\(w = \frac{600}{l} = \frac{600}{10\sqrt{6}} = \frac{60}{\sqrt{6}} = \frac{60\sqrt{6}}{6} = 10\sqrt{6}\) (m)

Vậy kích thước của khu đất là \(10\sqrt{6}\) m nhân \(10\sqrt{6}\) m. Đây là một hình vuông.

Khi \(l = w = 10\sqrt{6}\) m, thì cả hai cạnh đều là “dài” và “ngắn” cùng một lúc. Trong trường hợp này, chi phí sẽ được tính theo cả hai loại dây cho từng cặp cạnh.

Chi phí thấp nhất là:

\(C = 30000 \cdot (10\sqrt{6}) + 20000 \cdot (10\sqrt{6})\)

\(C = 300000\sqrt{6} + 200000\sqrt{6}\)

\(C = 500000\sqrt{6}\) (đồng)

Giá trị xấp xỉ của \(500000\sqrt{6}\) là \(500000 \cdot 2.4494897 \approx 1224744.85\) đồng.

Làm tròn đến đơn vị đồng, chi phí thấp nhất là \(1.224.745\) đồng.

Bước 5: Kết luận

Để chi phí rào thấp nhất, khu đất hình chữ nhật phải có kích thước là \(10\sqrt{6}\) mét (khoảng \(24.49\) mét) cho mỗi cạnh, tức là khu đất đó là hình vuông.

Chi phí rào thấp nhất khi đó là \(500000\sqrt{6}\) đồng (khoảng \(1.224.745\) đồng).

Các em lưu ý rằng trong bài toán này, điều kiện “cạnh dài” và “cạnh ngắn” rất quan trọng. Nếu không có điều kiện này, đáp án sẽ khác. Chính điều kiện đó đã đẩy nghiệm tối ưu từ \(l=20\) lên biên của miền giá trị, là \(l = 10\sqrt{6}\), nơi khu đất trở thành hình vuông.