Xin chào các em học sinh lớp 12!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về nguyên hàm liên quan đến hàm logarit. Bài toán như sau:

Cho hàm số: \(f(x) = (\ln x)^2 / x\)

Yêu cầu 1: Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của \(f(x)\), biết \(F(1) = 2\).

Yêu cầu 2: Tính \(F(e^2)\).

Giải chi tiết:

Bước 1: Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của \(f(x)\).

Để tìm nguyên hàm của \(f(x) = (\ln x)^2 / x\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số.

Đặt \(u = \ln x\).

Khi đó, vi phân của \(u\) là \(du = \frac{1}{x} dx\).

Thay vào biểu thức \(f(x)\), ta có:

\(\int f(x) dx = \int (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \int u^2 du\)

Đây là một nguyên hàm cơ bản. Ta tính được:

\(\int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C\)

Bây giờ, chúng ta thay \(u = \ln x\) trở lại:

\(F(x) = \frac{(\ln x)^3}{3} + C\)

Trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

Bước 2: Sử dụng điều kiện \(F(1) = 2\) để tìm hằng số \(C\).

Chúng ta có \(F(x) = \frac{(\ln x)^3}{3} + C\). Thay \(x = 1\) vào:

\(F(1) = \frac{(\ln 1)^3}{3} + C\)

Ta biết \(\ln 1 = 0\). Do đó:

\(F(1) = \frac{0^3}{3} + C = 0 + C = C\)

Theo đề bài, \(F(1) = 2\). Vậy ta có:

\(C = 2\)

Do đó, nguyên hàm cần tìm là:

\(F(x) = \frac{(\ln x)^3}{3} + 2\)

Bước 3: Tính \(F(e^2)\).

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng biểu thức \(F(x) = \frac{(\ln x)^3}{3} + 2\) để tính giá trị tại \(x = e^2\).

\(F(e^2) = \frac{(\ln e^2)^3}{3} + 2\)

Ta biết \(\ln e^2 = 2 \ln e = 2 \cdot 1 = 2\).

Thay giá trị này vào biểu thức của \(F(e^2)\):

\(F(e^2) = \frac{2^3}{3} + 2\)

\(F(e^2) = \frac{8}{3} + 2\)

Quy đồng mẫu số:

\(F(e^2) = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8 + 6}{3} = \frac{14}{3}\)

Kết luận:

Nguyên hàm của \(f(x) = (\ln x)^2 / x\) là \(F(x) = \frac{(\ln x)^3}{3} + 2\).

Giá trị của \(F(e^2)\) là \(\frac{14}{3}\).

Chúc các em học tốt!