Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô (thầy) rất vui được hướng dẫn các em giải quyết các bài tập về thu gọn biểu thức, xác định hệ số, biến và bậc của đơn thức, đa thức. Đây là những kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta đấy! Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 1: Thu gọn, xác định hệ số (hs), biến, bậc

a) \( (-x^2y^3)^2 \cdot (\frac{1}{2}xy^2) \)

Lời giải:

Bước 1: Thu gọn lũy thừa.

\( (-x^2y^3)^2 = (-1)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = 1 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot y^{3 \cdot 2} = x^4y^6 \)

Bước 2: Nhân các đơn thức.

\( x^4y^6 \cdot (\frac{1}{2}xy^2) = \frac{1}{2} \cdot (x^4 \cdot x^1) \cdot (y^6 \cdot y^2) \)

\( = \frac{1}{2} x^{4+1} y^{6+2} \)

\( = \frac{1}{2} x^5 y^8 \)

Vậy, đơn thức sau khi thu gọn là: \( \frac{1}{2} x^5 y^8 \)

Xác định:

Hệ số: \( \frac{1}{2} \)

Biến: \( x^5y^8 \)

Bậc: \( 5 + 8 = 13 \)

b) \( (-ax^2y)^2 \cdot (\frac{1}{2}xy) \) (a là hằng số)

Lời giải:

Bước 1: Thu gọn lũy thừa.

\( (-ax^2y)^2 = (-a)^2 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2 = a^2 x^{2 \cdot 2} y^2 = a^2 x^4 y^2 \)

Bước 2: Nhân các đơn thức.

\( a^2 x^4 y^2 \cdot (\frac{1}{2}xy) = (\frac{1}{2} \cdot a^2) \cdot (x^4 \cdot x^1) \cdot (y^2 \cdot y^1) \)

\( = \frac{1}{2} a^2 x^{4+1} y^{2+1} \)

\( = \frac{1}{2} a^2 x^5 y^3 \)

Vậy, đơn thức sau khi thu gọn là: \( \frac{1}{2} a^2 x^5 y^3 \)

Xác định:

Hệ số: \( \frac{1}{2}a^2 \) (vì a là hằng số nên \(a^2\) là một phần của hệ số)

Biến: \( x^5y^3 \)

Bậc: \( 5 + 3 = 8 \)

c) \( (7x^2y^3 – 8x^3y^2 + 4x^3y^3) : (-xy) \)

Lời giải:

Để chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó.

\( \frac{7x^2y^3}{-xy} = -7x^{2-1}y^{3-1} = -7xy^2 \)

\( \frac{-8x^3y^2}{-xy} = +8x^{3-1}y^{2-1} = +8x^2y \)

\( \frac{4x^3y^3}{-xy} = -4x^{3-1}y^{3-1} = -4x^2y^2 \)

Vậy, biểu thức sau khi thu gọn là: \( -7xy^2 + 8x^2y – 4x^2y^2 \)

Đây là một đa thức. Chúng ta sẽ xác định hệ số, biến và bậc cho từng hạng tử:

• Hạng tử thứ nhất: \( -7xy^2 \)

Hệ số: -7

Biến: \( xy^2 \)

Bậc: \( 1 + 2 = 3 \)

• Hạng tử thứ hai: \( +8x^2y \)

Hệ số: 8

Biến: \( x^2y \)

Bậc: \( 2 + 1 = 3 \)

• Hạng tử thứ ba: \( -4x^2y^2 \)

Hệ số: -4

Biến: \( x^2y^2 \)

Bậc: \( 2 + 2 = 4 \)

Bậc của đa thức là bậc cao nhất của các hạng tử, tức là 4.

d) \( -7xy^2 \cdot (2xy^3 + 3x^2y^2) \)

Lời giải:

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức.

\( -7xy^2 \cdot (2xy^3) = (-7 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y^3) = -14x^{1+1}y^{2+3} = -14x^2y^5 \)

\( -7xy^2 \cdot (3x^2y^2) = (-7 \cdot 3) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y^2 \cdot y^2) = -21x^{1+2}y^{2+2} = -21x^3y^4 \)

Vậy, biểu thức sau khi thu gọn là: \( -14x^2y^5 – 21x^3y^4 \)

Đây là một đa thức. Chúng ta sẽ xác định hệ số, biến và bậc cho từng hạng tử:

• Hạng tử thứ nhất: \( -14x^2y^5 \)

Hệ số: -14

Biến: \( x^2y^5 \)

Bậc: \( 2 + 5 = 7 \)

• Hạng tử thứ hai: \( -21x^3y^4 \)

Hệ số: -21

Biến: \( x^3y^4 \)

Bậc: \( 3 + 4 = 7 \)

Bậc của đa thức là bậc cao nhất của các hạng tử, tức là 7.

Bài 2: Thu gọn

A= \( (2x-1)^3 – (3x-2) \cdot (x+1) \)

Lời giải:

Bước 1: Khai triển \( (2x-1)^3 \)

Áp dụng hằng đẳng thức \( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \), với \( a=2x \) và \( b=1 \):

\( (2x-1)^3 = (2x)^3 – 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 – (1)^3 \)

\( = 8x^3 – 3(4x^2) + 6x – 1 \)

\( = 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 \)

Bước 2: Khai triển \( (3x-2) \cdot (x+1) \)

\( (3x-2)(x+1) = 3x \cdot x + 3x \cdot 1 – 2 \cdot x – 2 \cdot 1 \)

\( = 3x^2 + 3x – 2x – 2 \)

\( = 3x^2 + x – 2 \)

Bước 3: Thay các kết quả vào biểu thức A và thu gọn:

\( A = (8x^3 – 12x^2 + 6x – 1) – (3x^2 + x – 2) \)

\( A = 8x^3 – 12x^2 + 6x – 1 – 3x^2 – x + 2 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( A = 8x^3 + (-12x^2 – 3x^2) + (6x – x) + (-1 + 2) \)

\( A = 8x^3 – 15x^2 + 5x + 1 \)

Vậy, biểu thức A sau khi thu gọn là: \( 8x^3 – 15x^2 + 5x + 1 \)

B= \( (4x-5)(x-2) – 2(x-3)^2 \)

Lời giải:

Bước 1: Khai triển \( (4x-5)(x-2) \)

\( (4x-5)(x-2) = 4x \cdot x + 4x \cdot (-2) – 5 \cdot x – 5 \cdot (-2) \)

\( = 4x^2 – 8x – 5x + 10 \)

\( = 4x^2 – 13x + 10 \)

Bước 2: Khai triển \( 2(x-3)^2 \)

Đầu tiên, khai triển \( (x-3)^2 \) bằng hằng đẳng thức \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \), với \( a=x \) và \( b=3 \):

\( (x-3)^2 = x^2 – 2(x)(3) + 3^2 \)

\( = x^2 – 6x + 9 \)

Sau đó nhân với 2:

\( 2(x-3)^2 = 2(x^2 – 6x + 9) \)

\( = 2x^2 – 12x + 18 \)

Bước 3: Thay các kết quả vào biểu thức B và thu gọn:

\( B = (4x^2 – 13x + 10) – (2x^2 – 12x + 18) \)

\( B = 4x^2 – 13x + 10 – 2x^2 + 12x – 18 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( B = (4x^2 – 2x^2) + (-13x + 12x) + (10 – 18) \)

\( B = 2x^2 – x – 8 \)

Vậy, biểu thức B sau khi thu gọn là: \( 2x^2 – x – 8 \)

Cô (thầy) hy vọng phần giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách làm bài nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại. Chúc các em học tốt!