Chào các em học sinh!

Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán về việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, thi cử.

Đề bài: Cho hàm số: \(f(x) = x^2 – 3x^2 + 2\)
Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Phân tích đề bài và rút gọn hàm số:

Trước hết, chúng ta cần quan sát kỹ hàm số đã cho. Hàm số là: \(f(x) = x^2 – 3x^2 + 2\).

Các em có thể thấy hai hạng tử \(x^2\) và \(-3x^2\) có thể rút gọn được như sau:

\(f(x) = (1 – 3)x^2 + 2\)

\(f(x) = -2x^2 + 2\)

Như vậy, chúng ta sẽ làm việc với hàm số đã được rút gọn là \(f(x) = -2x^2 + 2\).

Các bước giải bài toán:

Để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước cơ bản sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số, ký hiệu là \(f'(x)\).
3. Tìm các giá trị của \(x\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định (thường gọi là các điểm tới hạn).
4. Lập bảng xét dấu của \(f'(x)\) dựa trên các điểm tới hạn đã tìm được.
5. Từ bảng xét dấu, kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào giải chi tiết từng bước cho hàm số \(f(x) = -2x^2 + 2\).

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Hàm số \(f(x) = -2x^2 + 2\) là một hàm đa thức (cụ thể là hàm bậc hai). Các hàm đa thức luôn xác định với mọi giá trị của \(x\) thuộc tập hợp số thực.

Vậy, tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số.

Ta có hàm số \(f(x) = -2x^2 + 2\).

Áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản \((x^n)’ = nx^{n-1}\) và \((c)’ = 0\), ta tính đạo hàm của \(f(x)\):

\(f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^2 + 2)\)

\(f'(x) = -2 \cdot (2x^{2-1}) + 0\)

\(f'(x) = -4x\)

Bước 3: Tìm các giá trị của \(x\) mà tại đó đạo hàm bằng 0.

Để tìm các điểm tới hạn, ta đặt \(f'(x) = 0\):

\(-4x = 0\)

Chia cả hai vế cho \(-4\), ta được:

\(x = 0\)

Đây là điểm tới hạn duy nhất của hàm số. Đạo hàm \(f'(x) = -4x\) xác định trên toàn tập \(\mathbb{R}\), nên không có điểm nào làm cho đạo hàm không xác định.

Bước 4: Lập bảng xét dấu của \(f'(x)\).

Điểm \(x = 0\) chia trục số thực thành hai khoảng: \((-\infty, 0)\) và \((0, +\infty)\).

Chúng ta sẽ chọn một giá trị thử trong mỗi khoảng để xác định dấu của \(f'(x)\).

• Xét trên khoảng \((-\infty, 0)\):

  Chọn một giá trị \(x\) bất kỳ trong khoảng này, ví dụ \(x = -1\).

  Thay \(x = -1\) vào \(f'(x) = -4x\), ta được:

  \(f'(-1) = -4 \cdot (-1) = 4\)

  Vì \(f'(-1) = 4 > 0\), nên trong khoảng \((-\infty, 0)\), đạo hàm \(f'(x)\) mang dấu dương. Điều này có nghĩa là hàm số đồng biến trên khoảng này.

• Xét trên khoảng \((0, +\infty)\):

  Chọn một giá trị \(x\) bất kỳ trong khoảng này, ví dụ \(x = 1\).

  Thay \(x = 1\) vào \(f'(x) = -4x\), ta được:

  \(f'(1) = -4 \cdot (1) = -4\)

  Vì \(f'(1) = -4 < 0\), nên trong khoảng \((0, +\infty)\), đạo hàm \(f'(x)\) mang dấu âm. Điều này có nghĩa là hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Chúng ta có thể tóm tắt trong bảng biến thiên (không thể vẽ bảng phức tạp bằng HTML cơ bản, nên thầy sẽ mô tả các dòng):

Dòng 1: Các giá trị của \(x\): từ \(-\infty\) đến \(0\), rồi đến \(+\infty\).

Dòng 2: Dấu của \(f'(x)\):

        \(x\)         \(-\infty\)             \(0\)             \(+\infty\)

        \(f'(x)\)               \(+\)           \(0\)           \(-\)

Dòng 3: Chiều biến thiên của \(f(x)\):

        \(f(x)\)         Đồng biến (đi lên)   Cực đại   Nghịch biến (đi xuống)

Bước 5: Kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến.

Dựa vào bảng xét dấu của \(f'(x)\) (hay bảng biến thiên):

• Khi \(f'(x) > 0\), hàm số đồng biến.

  Vậy, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((-\infty, 0)\).

• Khi \(f'(x) < 0\), hàm số nghịch biến.

  Vậy, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0, +\infty)\).

Tóm tắt kết quả:

Đối với hàm số \(f(x) = x^2 – 3x^2 + 2\) (đã rút gọn thành \(f(x) = -2x^2 + 2\)):

• Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty, 0)\).
• Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0, +\infty)\).

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Hãy nhớ rằng việc tính toán cẩn thận và lập bảng xét dấu đúng là chìa khóa để giải quyết dạng bài này.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!

Chúc các em học tốt!