Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về nguyên hàm. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán 12, đòi hỏi chúng ta phải vận dụng các kỹ năng biến đổi đại số, phân tích thành phân số tối giản và tính nguyên hàm cơ bản. Chúng ta hãy cùng bắt đầu nhé!

Đề bài: Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số: \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + 1)^2}\), biết \(F(1) = 0\). Tính \(F(e)\).

Bài giải:

Bước 1: Rút gọn hàm số \(f(x)\)

Trước hết, chúng ta cần rút gọn biểu thức của hàm số \(f(x)\) để việc tìm nguyên hàm trở nên dễ dàng hơn. Quan sát biểu thức, ta thấy có nhân tử chung \((x^2 + 1)\) ở cả tử số và mẫu số.

\[f(x) = \frac{x^2 + 1}{x(x^2 + 1)^2}\]

Chúng ta có thể giản ước \((x^2 + 1)\) ở tử số với một nhân tử \((x^2 + 1)\) ở mẫu số:

\[f(x) = \frac{1}{x(x^2 + 1)}\]

Bước 2: Phân tích hàm số \(f(x)\) thành tổng các phân số tối giản (phân tích thành phân số riêng phần)

Để tìm nguyên hàm của dạng \(\frac{1}{x(x^2 + 1)}\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành phân số riêng phần. Chúng ta giả sử rằng:

\[\frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}\]

Để tìm các hệ số \(A, B, C\), chúng ta quy đồng mẫu số ở vế phải:

\[\frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A(x^2 + 1) + (Bx + C)x}{x(x^2 + 1)}\]

Đồng nhất tử số của hai vế, ta có:

\[1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x\]

\[1 = Ax^2 + A + Bx^2 + Cx\]

\[1 = (A + B)x^2 + Cx + A\]

Bằng cách so sánh các hệ số của \(x^2\), \(x\) và hằng số ở hai vế, ta được hệ phương trình:

1. Hệ số của \(x^2\): \(A + B = 0\)
2. Hệ số của \(x\): \(C = 0\)
3. Hằng số: \(A = 1\)

Giải hệ phương trình này, ta có:

Từ (3), ta có \(A = 1\).
Thay \(A = 1\) vào (1), ta có \(1 + B = 0 \Rightarrow B = -1\).
Từ (2), ta có \(C = 0\).

Vậy, ta có thể viết lại \(f(x)\) như sau:

\[f(x) = \frac{1}{x} + \frac{-x + 0}{x^2 + 1} = \frac{1}{x} – \frac{x}{x^2 + 1}\]

Bước 3: Tính nguyên hàm \(F(x)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm nguyên hàm của \(f(x)\) bằng cách tính nguyên hàm của từng thành phần:

\[F(x) = \int \left( \frac{1}{x} – \frac{x}{x^2 + 1} \right) dx\]

\[F(x) = \int \frac{1}{x} dx – \int \frac{x}{x^2 + 1} dx\]

Đối với \(\int \frac{1}{x} dx\), nguyên hàm là \(\ln|x|\).
Đối với \(\int \frac{x}{x^2 + 1} dx\), chúng ta có thể dùng phương pháp đổi biến số. Đặt \(u = x^2 + 1\). Khi đó, \(du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du\).
Suy ra, \[\int \frac{x}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C’ = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C’\] (Vì \(x^2 + 1 > 0\) nên ta không cần dấu giá trị tuyệt đối).

Kết hợp hai nguyên hàm, ta có:

\[F(x) = \ln|x| – \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C\]

Trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

Bước 4: Tìm hằng số \(C\) dựa vào điều kiện \(F(1) = 0\)

Chúng ta được cho rằng \(F(1) = 0\). Thay \(x = 1\) vào biểu thức của \(F(x)\):

\[F(1) = \ln|1| – \frac{1}{2} \ln(1^2 + 1) + C = 0\]

\[0 – \frac{1}{2} \ln(2) + C = 0\]

\[-\frac{1}{2} \ln(2) + C = 0\]

\[C = \frac{1}{2} \ln(2)\]

Vậy, nguyên hàm \(F(x)\) cần tìm là:

\[F(x) = \ln|x| – \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + \frac{1}{2} \ln(2)\]

Chúng ta có thể viết gọn lại bằng cách sử dụng các quy tắc của logarit:

\[F(x) = \ln|x| + \frac{1}{2} (\ln 2 – \ln(x^2 + 1))\]

\[F(x) = \ln|x| + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{2}{x^2 + 1}\right)\]

Hoặc, viết gọn hơn:

\[F(x) = \frac{1}{2} \left( 2\ln|x| + \ln\left(\frac{2}{x^2 + 1}\right) \right)\]

\[F(x) = \frac{1}{2} \left( \ln(x^2) + \ln\left(\frac{2}{x^2 + 1}\right) \right)\]

\[F(x) = \frac{1}{2} \ln\left( x^2 \cdot \frac{2}{x^2 + 1} \right)\]

\[F(x) = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{2x^2}{x^2 + 1} \right)\]

Bước 5: Tính \(F(e)\)

Bây giờ chúng ta sẽ tính giá trị của \(F(e)\) bằng cách thay \(x = e\) vào biểu thức của \(F(x)\) mà chúng ta vừa tìm được:

\[F(e) = \frac{1}{2} \ln\left( \frac{2e^2}{e^2 + 1} \right)\]

Hoặc nếu dùng dạng chưa rút gọn hết:

\[F(e) = \ln|e| – \frac{1}{2} \ln(e^2 + 1) + \frac{1}{2} \ln(2)\]

Vì \(\ln|e| = \ln e = 1\), ta có:

\[F(e) = 1 – \frac{1}{2} \ln(e^2 + 1) + \frac{1}{2} \ln(2)\]

\[F(e) = 1 + \frac{1}{2} (\ln(2) – \ln(e^2 + 1))\]

\[F(e) = 1 + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{2}{e^2 + 1}\right)\]

Cả hai cách viết đều cho cùng một kết quả cuối cùng. Cách viết cuối cùng này thường được ưa chuộng vì nó thể hiện rõ ràng các thành phần.

Kết luận:

Nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số đã cho là:
\(F(x) = \ln|x| – \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + \frac{1}{2} \ln(2)\)

Giá trị của \(F(e)\) là:
\(F(e) = 1 + \frac{1}{2} \ln\left(\frac{2}{e^2 + 1}\right)\)

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!