Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về hình học giải tích trong không gian, liên quan đến việc tìm điểm để một biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Đây là một dạng bài thường gặp trong các kỳ thi.

Đề bài: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-1; 1; 2)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) sao cho \(MA^2 + MB^2 + MC^2\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(M\).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ của điểm \(M\) dựa trên điều kiện nó thuộc mặt phẳng \((Oxy)\).
2. Viết biểu thức tính bình phương khoảng cách từ \(M\) đến mỗi điểm \(A, B, C\).
3. Lập hàm số \(P(x, y) = MA^2 + MB^2 + MC^2\) theo các biến \(x, y\).
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(P(x, y)\) bằng cách sử dụng đạo hàm riêng hoặc phương pháp hoàn thành bình phương.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định tọa độ của điểm \(M\)

Vì điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\), nên tọa độ của \(M\) sẽ có dạng \(M(x; y; 0)\), với \(x, y\) là các số thực cần tìm.

Bước 2: Viết biểu thức tính bình phương khoảng cách

Chúng ta sử dụng công thức bình phương khoảng cách giữa hai điểm \(P(x_1; y_1; z_1)\) và \(Q(x_2; y_2; z_2)\) là \(PQ^2 = (x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 + (z_2 – z_1)^2\).

Đối với \(MA^2\), với \(A(1; 2; -1)\) và \(M(x; y; 0)\):

\(MA^2 = (x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (0 – (-1))^2\)

\(MA^2 = (x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 4y + 4) + 1^2\)

\(MA^2 = x^2 – 2x + 1 + y^2 – 4y + 4 + 1\)

\(MA^2 = x^2 + y^2 – 2x – 4y + 6\) (1)

Đối với \(MB^2\), với \(B(2; -1; 3)\) và \(M(x; y; 0)\):

\(MB^2 = (x – 2)^2 + (y – (-1))^2 + (0 – 3)^2\)

\(MB^2 = (x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) + (-3)^2\)

\(MB^2 = x^2 – 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 + 9\)

\(MB^2 = x^2 + y^2 – 4x + 2y + 14\) (2)

Đối với \(MC^2\), với \(C(-1; 1; 2)\) và \(M(x; y; 0)\):

\(MC^2 = (x – (-1))^2 + (y – 1)^2 + (0 – 2)^2\)

\(MC^2 = (x + 1)^2 + (y – 1)^2 + (-2)^2\)

\(MC^2 = (x^2 + 2x + 1) + (y^2 – 2y + 1) + 4\)

\(MC^2 = x^2 + y^2 + 2x – 2y + 6\) (3)

Bước 3: Lập hàm số \(P(x, y)\)

Ta cộng các biểu thức (1), (2), (3) lại để được \(P(x, y) = MA^2 + MB^2 + MC^2\):

\(P(x, y) = (x^2 + y^2 – 2x – 4y + 6) + (x^2 + y^2 – 4x + 2y + 14) + (x^2 + y^2 + 2x – 2y + 6)\)

Gom các hạng tử cùng loại:

Về \(x^2\): \(x^2 + x^2 + x^2 = 3x^2\)

Về \(y^2\): \(y^2 + y^2 + y^2 = 3y^2\)

Về \(x\): \(-2x – 4x + 2x = -4x\)

Về \(y\): \(-4y + 2y – 2y = -4y\)

Về hằng số: \(6 + 14 + 6 = 26\)

Vậy, biểu thức \(P(x, y)\) là:

\(P(x, y) = 3x^2 + 3y^2 – 4x – 4y + 26\)

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(P(x, y)\)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai hai biến này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương:

\(P(x, y) = 3(x^2 – \frac{4}{3}x) + 3(y^2 – \frac{4}{3}y) + 26\)

Hoàn thành bình phương cho từng phần:

\(x^2 – \frac{4}{3}x = (x – \frac{2}{3})^2 – (\frac{2}{3})^2 = (x – \frac{2}{3})^2 – \frac{4}{9}\)

\(y^2 – \frac{4}{3}y = (y – \frac{2}{3})^2 – (\frac{2}{3})^2 = (y – \frac{2}{3})^2 – \frac{4}{9}\)

Thay trở lại vào biểu thức \(P(x, y)\):

\(P(x, y) = 3\left((x – \frac{2}{3})^2 – \frac{4}{9}\right) + 3\left((y – \frac{2}{3})^2 – \frac{4}{9}\right) + 26\)

\(P(x, y) = 3(x – \frac{2}{3})^2 – 3 \cdot \frac{4}{9} + 3(y – \frac{2}{3})^2 – 3 \cdot \frac{4}{9} + 26\)

\(P(x, y) = 3(x – \frac{2}{3})^2 – \frac{4}{3} + 3(y – \frac{2}{3})^2 – \frac{4}{3} + 26\)

\(P(x, y) = 3(x – \frac{2}{3})^2 + 3(y – \frac{2}{3})^2 + 26 – \frac{8}{3}\)

\(P(x, y) = 3(x – \frac{2}{3})^2 + 3(y – \frac{2}{3})^2 + \frac{78 – 8}{3}\)

\(P(x, y) = 3(x – \frac{2}{3})^2 + 3(y – \frac{2}{3})^2 + \frac{70}{3}\)

Vì \(3(x – \frac{2}{3})^2 \ge 0\) và \(3(y – \frac{2}{3})^2 \ge 0\), nên \(P(x, y)\) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:

\((x – \frac{2}{3})^2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\)

và

\((y – \frac{2}{3})^2 = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3}\)

Vậy, tọa độ của điểm \(M\) là \((\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; 0)\).

Kết luận:

Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) sao cho \(MA^2 + MB^2 + MC^2\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(M(\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; 0)\).

Lưu ý thêm: Các em có thể nhận thấy rằng điểm M này chính là hình chiếu của trọng tâm G của tam giác ABC lên mặt phẳng (Oxy). Cụ thể, tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là \(G(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; \frac{y_A+y_B+y_C}{3}; \frac{z_A+z_B+z_C}{3})\).

\(x_G = \frac{1+2+(-1)}{3} = \frac{2}{3}\)

\(y_G = \frac{2+(-1)+1}{3} = \frac{2}{3}\)

\(z_G = \frac{-1+3+2}{3} = \frac{4}{3}\)

Vậy \(G(\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{4}{3})\). Khi chiếu G lên mặt phẳng \((Oxy)\), ta được điểm \(M'(\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; 0)\), trùng khớp với kết quả chúng ta vừa tìm được. Đây là một tính chất rất quan trọng trong hình học giải tích!

Hy vọng bài giải này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và giải quyết dạng bài này. Chúc các em học tốt!