Tất cả giá trị của tham số `m` để đồ thị hàm số `y=x^3+(m^2 -2)+2m^2 +4` cắt trụ…
\(A.m=+-2\)
\(B.m=+-1\)
\(C.m=+-\sqrt{3}\)
\(C.m=+-\sqrt{2}\)
Chúng ta hãy cùng phân tích bài toán này từng bước nhé.
Bước 1: Xác định phương trình hàm số và các điểm cắt trục tọa độ.
Đề bài cho hàm số \(y=x^3+(m^2 -2)+2m^2 +4\).
Chúng ta có thể rút gọn biểu thức của hàm số này trước:
\(y = x^3 + m^2 – 2 + 2m^2 + 4\)
\(y = x^3 + 3m^2 + 2\)
Bây giờ, chúng ta sẽ tìm giao điểm của đồ thị hàm số với hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\).
* Giao điểm với trục Oy:
Khi đồ thị cắt trục \(Oy\), hoành độ \(x\) bằng \(0\).
Thay \(x=0\) vào phương trình hàm số, ta được:
\(y = 0^3 + 3m^2 + 2 = 3m^2 + 2\)
Vậy, điểm cắt trục \(Oy\) là \(B\) có tọa độ là \((0, 3m^2 + 2)\).
Để điểm \(B\) tồn tại trên trục \(Oy\), ta cần giá trị \(y\) khác \(0\). Tức là \(3m^2 + 2 \neq 0\). Vì \(m^2 \ge 0\) với mọi \(m\), nên \(3m^2 + 2 \ge 2 > 0\), do đó luôn khác \(0\).
* Giao điểm với trục Ox:
Khi đồ thị cắt trục \(Ox\), tung độ \(y\) bằng \(0\).
Thay \(y=0\) vào phương trình hàm số, ta được:
\(0 = x^3 + 3m^2 + 2\)
\(x^3 = -(3m^2 + 2)\)
\(x = \sqrt[3]{-(3m^2 + 2)}\)
Vậy, điểm cắt trục \(Ox\) là \(A\) có tọa độ là \((\sqrt[3]{-(3m^2 + 2)}, 0)\).
Để điểm \(A\) tồn tại trên trục \(Ox\), ta cần giá trị \(x\) khác \(0\). Tức là \(\sqrt[3]{-(3m^2 + 2)} \neq 0\). Điều này tương đương với \(3m^2 + 2 \neq 0\), mà chúng ta đã thấy điều này luôn đúng.
Bước 2: Tính diện tích tam giác OAB.
Tam giác \(OAB\) là tam giác vuông tại gốc tọa độ \(O(0,0)\).
Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác \(OAB\) lần lượt là:
* Độ dài đoạn \(OA\) (trên trục \(Ox\)): \(|x_A| = |\sqrt[3]{-(3m^2 + 2)}|\)
* Độ dài đoạn \(OB\) (trên trục \(Oy\)): \(|y_B| = |3m^2 + 2|\)
Diện tích tam giác \(OAB\) được tính bằng công thức:
\(S_{OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB\)
\(S_{OAB} = \frac{1}{2} \times |\sqrt[3]{-(3m^2 + 2)}| \times |3m^2 + 2|\)
Chúng ta đã biết \(3m^2 + 2 > 0\) với mọi \(m\).
Do đó, \(|3m^2 + 2| = 3m^2 + 2\).
Và \(\sqrt[3]{-(3m^2 + 2)}\) là một số âm, vì vậy \(|\sqrt[3]{-(3m^2 + 2)}| = – \sqrt[3]{-(3m^2 + 2)} = \sqrt[3]{3m^2 + 2}\).
(Lưu ý: Nếu \(a < 0\), thì \(|a| = -a\). Ở đây, \(a = \sqrt[3]{-(3m^2 + 2)}\) là một số âm. Vậy \(|a| = - \sqrt[3]{-(3m^2 + 2)}\). Ta có thể đưa dấu trừ vào trong căn bậc ba: \( - \sqrt[3]{X} = \sqrt[3]{-X}\). Do đó, \(|a| = \sqrt[3]{-(- (3m^2 + 2)))} = \sqrt[3]{3m^2 + 2}\).)
Vậy, diện tích tam giác \(OAB\) là:
\(S_{OAB} = \frac{1}{2} \times \sqrt[3]{3m^2 + 2} \times (3m^2 + 2)\)
Chúng ta có thể viết \(3m^2 + 2\) dưới dạng lũy thừa \((\sqrt[3]{3m^2 + 2})^3\).
\(S_{OAB} = \frac{1}{2} \times (3m^2 + 2)^{\frac{1}{3}} \times (3m^2 + 2)^1\)
\(S_{OAB} = \frac{1}{2} \times (3m^2 + 2)^{\frac{1}{3} + 1}\)
\(S_{OAB} = \frac{1}{2} \times (3m^2 + 2)^{\frac{4}{3}}\)
Bước 3: Giải phương trình diện tích bằng 8.
Đề bài cho diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(8\).
\(S_{OAB} = 8\)
\(\frac{1}{2} \times (3m^2 + 2)^{\frac{4}{3}} = 8\)
Nhân cả hai vế với \(2\):
\((3m^2 + 2)^{\frac{4}{3}} = 16\)
Để giải phương trình này, chúng ta có thể mũ \(3/4\) cả hai vế:
\(((3m^2 + 2)^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}}\)
\(3m^2 + 2 = 16^{\frac{3}{4}}\)
Ta tính \(16^{\frac{3}{4}}\).
\(16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8\).
Vậy, phương trình trở thành:
\(3m^2 + 2 = 8\)
Chuyển \(2\) sang vế phải:
\(3m^2 = 8 – 2\)
\(3m^2 = 6\)
Chia cả hai vế cho \(3\):
\(m^2 = \frac{6}{3}\)
\(m^2 = 2\)
Lấy căn bậc hai cả hai vế:
\(m = \pm \sqrt{2}\)
Vậy, các giá trị của tham số \(m\) là \(m = \sqrt{2}\) và \(m = -\sqrt{2}\).
Bước 4: Kiểm tra lại các đáp án.
Chúng ta đã tìm được hai giá trị của \(m\) là \(\sqrt{2}\) và \(-\sqrt{2}\).
Bây giờ, chúng ta xem xét các phương án đề bài đưa ra:
A. \(m = \pm 2\)
B. \(m = \pm 1\)
C. \(m = \pm \sqrt{3}\)
D. \(m = \pm \sqrt{2}\)
Kết quả của chúng ta trùng với phương án D.
Kết luận:
Các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số đã cho cắt trục tọa độ \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A, B\) sao cho diện tích tam giác \(OAB\) bằng \(8\) là \(m = \pm \sqrt{2}\).
Đáp án chính xác là D.
Chúc các em học tốt!
Lấy \(y=0\), ta có:
\(x^3+(m^2-2)x+2m^2+4=0\)
\(x^3+m^2 x-2x+2m^2+4=0\)
\(x^3-2x^2+m^2 x+2x+2x^2-4x+2m^2+4=0\)
\(x(x^2-2x+m^2+2)+2(x^2-2x+m^2+2)=0\)
\((x+2)(x^2-2x+m^2+2)=0\)
Th1: \(x+2=0=>x=-2\)
Th2: \(x^2-2x+m^2+2=0\)
\((x^2-2x+1)+m^2+1=0\)
\((x-1)^2+m^2+1=0\)
Ta có: \({((x-1)^2>=0 AA x),(m^2>=0 AA m):}\)
\(=>(x-1)^2+m^2>=0 AA x;m\)
\(=>(x-1)^2+m^2+1>0 AA x;m\)
\(=>\) pt vô nghiệm
Vậy \(x=-2\) khi \(y=0=>A(-2;0)=>OA=|x_A|=2\)
Lấy \(x=0=>y=0^3+(m^2-2).9+2m^2+4=2m^2+4=>B(0;2m^2+4)=>OB=|y_B|=|2m^2+4|\)
Ta có: \(S_(OAB)=8\)
\(1/2 . OB.OA=8\)
\(1/2 . |2m^2+4| .2=8\)
\(|2m^2+4|=8\)
Vì \(2m^2+4>0 AA m\) nên
\(2m^2+4=8\)
\(2m^2=4\)
\(m^2=2\)
\(m=+-\sqrt{2}\)
\(->bb(+-\sqrt{2})\)
Đáp án: \(D. m = +-\sqrt{2}\)
Giải thích các bước giải
\(***\)) Thay \(x = 0\) vào hàm số, ta được \(y = 2m^2 + 4\)
Khi đó \(B\) có tọa độ \((0;2m^2 + 4) => OB = 2m^2 + 4\)
\(***\)) Thay \(y = 0\) vào hàm số, ta được:
\(x^3 + (m^2 – 2)x + 2m^2 + 4 = 0\)
\(<=> (x^3 + 2x^2) – (2x^2 + 4x) + [(m^2 + 2)x + 2m^2 + 4] = 0\)
\(<=> x^2 (x+2) – 2x (x+2) + (m^2 + 2)(x+2) = 0\)
\(<=>(x+2)(x^2 – 2x + m^2 + 2) = 0\)
\(<=>\) \(\left[ \begin{array}{l}x+2 = 0\\x^2 – 2x + m^2 + 2 = 0\end{array} \right.\)
Xét phương trình \(x^2 -2x + m^2 + 2 =0\) có \(Delta’ = (-2)^2 – 1 . (m^2 + 2) = – (m^2 + 2) < 0\)
\(=>\) Phương trình \(x^2 – 2x + m^2 + 2 = 0\) vô nghiệm, khi đó \(x + 2 = 0 <=> x =-2\)
Suy ra: Điểm \(A\) có tọa độ \((-2;0) => OA = |-2| = 2\)
\(***\)) Ta có: \(S_(triangle OAB) = 1/2 . OA . OB = 8\)
\(<=> 1/2 . (2m^2 + 4) . 2 = 8\)
\(<=> 2m^2 + 4 = 8\)
\(<=> 2m^2 = 4\)
\(<=> m^2 = 2\)
\(<=> m = +-\sqrt{2}\)
Vậy, \(m = +-\sqrt{2}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment