Cho hàm số: \(y=2x^3 +(m-1)x^2 +(m+2)x+1\) (1)

Chúng ta cần xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Để xét khẳng định này, chúng ta thay \(m=1\) vào hàm số (1), ta được:

\(y = 2x^3 + (1-1)x^2 + (1+2)x + 1\)

\(y = 2x^3 + 3x + 1\)

Đồ thị hàm số cắt trục hoành khi \(y=0\), tức là:

\(2x^3 + 3x + 1 = 0\)

Để tìm số giao điểm, chúng ta có thể xét tính đơn điệu của hàm số này.

Tính đạo hàm của hàm số \(y = 2x^3 + 3x + 1\):

\(y’ = (2x^3 + 3x + 1)’ = 6x^2 + 3\)

Ta thấy rằng \(6x^2 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), do đó \(y’ = 6x^2 + 3 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Vì \(y’ > 0\) trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = 2x^3 + 3x + 1\) là một hàm số đồng biến trên toàn bộ tập số thực \(\mathbb{R}\).

Một hàm số liên tục và đồng biến trên \(\mathbb{R}\) chỉ có thể cắt trục hoành (tức là \(y=0\)) tại duy nhất một điểm.

Vậy, khi \(m=1\), đồ thị hàm số cắt trục hoành tại \(1\) điểm phân biệt.

Kết luận: Khẳng định a) là ĐÚNG.

Để kiểm tra khẳng định này, chúng ta thay tọa độ điểm \(A(0;1)\) vào phương trình hàm số (1).

Thay \(x=0\) vào hàm số \(y=2x^3 +(m-1)x^2 +(m+2)x+1\):

\(y = 2(0)^3 + (m-1)(0)^2 + (m+2)(0) + 1\)

\(y = 0 + 0 + 0 + 1\)

\(y = 1\)

Ta thấy rằng với mọi giá trị của tham số \(m\), khi \(x=0\) thì \(y=1\).

Điều này có nghĩa là điểm \(A(0;1)\) luôn thuộc đồ thị hàm số (1), bất kể giá trị của \(m\).

Kết luận: Khẳng định b) là ĐÚNG.

Để xét khẳng định này, chúng ta cần tìm điều kiện để tồn tại tiếp tuyến thỏa mãn cả hai yêu cầu.

Yêu cầu 1: Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=9x-3\).

Đường thẳng \(y=9x-3\) có hệ số góc là \(k=9\).

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng này, nên hệ số góc của tiếp tuyến cũng phải bằng \(9\).

Đạo hàm của hàm số (1) là:

\(y’ = 6x^2 + 2(m-1)x + (m+2)\)

Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x_0\) là \(y'(x_0)\).

Ta có: \(y'(x_0) = 9\)

\(6x_0^2 + 2(m-1)x_0 + (m+2) = 9\)

\(6x_0^2 + 2(m-1)x_0 + m – 7 = 0\) (Phương trình điều kiện 1)

Yêu cầu 2: Tiếp tuyến đi qua điểm \(B(1;5)\).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \((x_0; y_0)\) có dạng: \(y – y_0 = y'(x_0)(x – x_0)\).

Trong đó \(y_0 = 2x_0^3 + (m-1)x_0^2 + (m+2)x_0 + 1\).

Vì \(y'(x_0) = 9\), phương trình tiếp tuyến trở thành: \(y – y_0 = 9(x – x_0)\).

Tiếp tuyến này đi qua điểm \(B(1;5)\), nên thay \(x=1, y=5\) vào phương trình tiếp tuyến:

\(5 – y_0 = 9(1 – x_0)\)

Thay \(y_0\) bằng biểu thức của nó theo \(x_0\) và \(m\):

\(5 – (2x_0^3 + (m-1)x_0^2 + (m+2)x_0 + 1) = 9 – 9x_0\)

\(5 – 2x_0^3 – (m-1)x_0^2 – (m+2)x_0 – 1 = 9 – 9x_0\)

\(-2x_0^3 – (m-1)x_0^2 – (m+2)x_0 + 4 = 9 – 9x_0\)

\(-2x_0^3 – (m-1)x_0^2 + (7-m)x_0 – 5 = 0\)

Nhân cả hai vế với \(-1\):

\(2x_0^3 + (m-1)x_0^2 + (m-7)x_0 + 5 = 0\) (Phương trình điều kiện 2)

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại \(x_0\) và \(m\) đồng thời thỏa mãn cả hai phương trình điều kiện 1 và 2 hay không.

Từ Phương trình điều kiện 1: \(6x_0^2 + 2(m-1)x_0 + m – 7 = 0\)

Từ Phương trình điều kiện 2: \(2x_0^3 + (m-1)x_0^2 + (m-7)x_0 + 5 = 0\)

Thay \((m-7)\) từ Phương trình 1 vào Phương trình 2. Từ PT1, ta có \(m-7 = -6x_0^2 – 2(m-1)x_0\).

Thế vào PT2:

\(2x_0^3 + (m-1)x_0^2 + (-6x_0^2 – 2(m-1)x_0)x_0 + 5 = 0\)

\(2x_0^3 + (m-1)x_0^2 – 6x_0^3 – 2(m-1)x_0^2 + 5 = 0\)

\(-4x_0^3 – (m-1)x_0^2 + 5 = 0\)

\(4x_0^3 + (m-1)x_0^2 – 5 = 0\) (Phương trình liên hệ mới)

Nếu \(x_0=0\), thì từ Phương trình liên hệ mới ta có \(-5=0\), điều này vô lý. Vậy \(x_0 \ne 0\).

Từ Phương trình liên hệ mới, ta có \((m-1) = \frac{5 – 4x_0^3}{x_0^2}\).

Thay \((m-1)\) và \((m-7)\) (mà \(m-7 = m-1-6\)) vào Phương trình 1:

\(6x_0^2 + 2\left(\frac{5 – 4x_0^3}{x_0^2}\right)x_0 + \left(\frac{5 – 4x_0^3}{x_0^2} – 6\right) = 0\)

\(6x_0^2 + \frac{10x_0 – 8x_0^4}{x_0^2} + \frac{5 – 4x_0^3 – 6x_0^2}{x_0^2} = 0\)

Nhân cả hai vế với \(x_0^2\) (vì \(x_0 \ne 0\)):

\(6x_0^4 + 10x_0 – 8x_0^4 + 5 – 4x_0^3 – 6x_0^2 = 0\)

\(-2x_0^4 – 4x_0^3 – 6x_0^2 + 10x_0 + 5 = 0\)

\(2x_0^4 + 4x_0^3 + 6x_0^2 – 10x_0 – 5 = 0\)

Đặt \(P(x_0) = 2x_0^4 + 4x_0^3 + 6x_0^2 – 10x_0 – 5\).

Chúng ta cần kiểm tra xem phương trình \(P(x_0)=0\) có nghiệm thực hay không.

Xét giá trị của \(P(x_0)\) tại một số điểm:

\(P(0) = -5\)

\(P(1) = 2(1)^4 + 4(1)^3 + 6(1)^2 – 10(1) – 5 = 2 + 4 + 6 – 10 – 5 = -3\)

\(P(-1) = 2(-1)^4 + 4(-1)^3 + 6(-1)^2 – 10(-1) – 5 = 2 – 4 + 6 + 10 – 5 = 9\)

Vì \(P(0) = -5\) và \(P(-1) = 9\), theo định lý giá trị trung gian, tồn tại ít nhất một nghiệm thực \(x_0^\) trong khoảng \((-1; 0)\) sao cho \(P(x_0^) = 0\).

Khi có một giá trị \(x_0^\) thỏa mãn, chúng ta có thể tìm được giá trị \(m\) tương ứng từ \((m-1) = \frac{5 – 4(x_0^)^3}{(x_0^*)^2}\). Giá trị \(m\) này sẽ là một số thực.

Vậy, tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(y=9x-3\) và đi qua điểm \(B(1;5)\).

Kết luận: Khẳng định c) là ĐÚNG.

Để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu, phương trình \(y’=0\) phải có hai nghiệm phân biệt.

\(y’ = 6x^2 + 2(m-1)x + (m+2)\)

Phương trình \(y’=0\) là \(6x^2 + 2(m-1)x + (m+2) = 0\).

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt là \(\Delta’ > 0\).

\(\Delta’ = (m-1)^2 – 6(m+2) = m^2 – 2m + 1 – 6m – 12 = m^2 – 8m – 11\)

Để có hai cực trị, ta cần \(\Delta’ > 0 \implies m^2 – 8m – 11 > 0\).

Tìm nghiệm của \(m^2 – 8m – 11 = 0\):

\(m = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 – 4(1)(-11)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 44}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{108}}{2} = \frac{8 \pm 6\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 3\sqrt{3}\)

Với \(3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196\).

Vậy, \(m_1 = 4 – 3\sqrt{3} \approx 4 – 5.196 = -1.196\).

Và \(m_2 = 4 + 3\sqrt{3} \approx 4 + 5.196 = 9.196\).

Điều kiện \(\Delta’ > 0\) cho ta \(m < 4 - 3\sqrt{3}\) hoặc \(m > 4 + 3\sqrt{3}\).

Gọi \(x_1, x_2\) là hoành độ của hai điểm cực trị (là hai nghiệm của \(y’=0\)).

Yêu cầu là \(x_1 > 1/6\) và \(x_2 > 1/6\).

Đây là bài toán xét vị trí của nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) so với một số \(\alpha\).

Với phương trình \(6x^2 + 2(m-1)x + (m+2) = 0\), ta có \(a=6 > 0\). Để cả hai nghiệm \(x_1, x_2\) lớn hơn \(1/6\), ta cần các điều kiện sau:

1. \(\Delta’ > 0\) (đã xét ở trên: \(m < 4 - 3\sqrt{3}\) hoặc \(m > 4 + 3\sqrt{3}\)).

2. Trục đối xứng của parabol \(x_S = \frac{-b}{2a} > \frac{1}{6}\).

\(x_S = \frac{-2(m-1)}{2 \times 6} = \frac{-(m-1)}{6}\).

Vậy, \(\frac{-(m-1)}{6} > \frac{1}{6} \implies -(m-1) > 1 \implies -m+1 > 1 \implies -m > 0 \implies m < 0\).

3. \(a \cdot y'(1/6) > 0\).

Vì \(a=6 > 0\), ta cần \(y'(1/6) > 0\).

\(y'(1/6) = 6(1/6)^2 + 2(m-1)(1/6) + (m+2)\)

\(= 6(1/36) + \frac{m-1}{3} + m+2\)

\(= \frac{1}{6} + \frac{2(m-1)}{6} + \frac{6(m+2)}{6}\)

\(= \frac{1 + 2m – 2 + 6m + 12}{6} = \frac{8m + 11}{6}\)

Ta cần \(\frac{8m + 11}{6} > 0 \implies 8m + 11 > 0 \implies 8m > -11 \implies m > -\frac{11}{8}\).

\(m > -1.375\).

Kết hợp tất cả các điều kiện cho \(m\):

a) \(m < 4 - 3\sqrt{3}\) hoặc \(m > 4 + 3\sqrt{3}\) (\(m < -1.196\) hoặc \(m > 9.196\))

b) \(m < 0\)

c) \(m > -1.375\)

Chúng ta giao các điều kiện này lại:

Kết hợp b) và c): \(-1.375 < m < 0\).

Bây giờ giao với điều kiện a):

\((-1.375 < m < 0)\) VÀ (\(m < -1.196\) HOẶC \(m > 9.196\))

Xét trường hợp 1: \((-1.375 < m < 0)\) VÀ \((m < -1.196)\)

Phần giao của hai điều kiện này là \(-1.375 < m < -1.196\).

Xét trường hợp 2: \((-1.375 < m < 0)\) VÀ \((m > 9.196)\)

Phần giao của hai điều kiện này là tập rỗng (không có giá trị \(m\) nào thỏa mãn đồng thời \(m < 0\) và \(m > 9.196\)).

Vậy, điều kiện cuối cùng cho \(m\) là \(-1.375 < m < -1.196\).

Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(m\) trong khoảng này.

Khoảng \((-1.375; -1.196)\) không chứa bất kỳ số nguyên nào. (Ví dụ, số nguyên gần nhất là \(-1\) hoặc \(-2\), nhưng cả hai đều không nằm trong khoảng này).

Do đó, không có giá trị nguyên nào của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu.

Khẳng định nói rằng “Có 1 giá trị nguyên của tham số \(m\)”. Điều này là sai.

Kết luận: Khẳng định d) là SAI.

Tổng kết lại:

• Khẳng định a): ĐÚNG
• Khẳng định b): ĐÚNG
• Khẳng định c): ĐÚNG
• Khẳng định d): SAI

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải từng phần của bài toán này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!