Xin chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về phương trình lượng giác. Bài tập này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về cách tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một khoảng cho trước.

Chúng ta sẽ đi vào chi tiết từng câu nhé.

a) Tìm số nghiệm thuộc đoạn \([0;\frac{5π}{2}]\) của phương trình \(2sin x – 1 = 0\)

Đầu tiên, chúng ta cần giải phương trình lượng giác này để tìm nghiệm tổng quát.

Ta có phương trình: \(2sin x – 1 = 0\)

Chuyển vế và chia cho 2, ta được:

\(2sin x = 1\)

\(sin x = \frac{1}{2}\)

Chúng ta đều biết rằng, phương trình \(sin x = a\) với \(-1 \le a \le 1\) có các nghiệm tổng quát là:

\(x = \alpha + k2\pi\)

hoặc

\(x = \pi – \alpha + k2\pi\)

trong đó \(\alpha\) là một nghiệm cụ thể của phương trình và \(k\) là số nguyên (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Trong trường hợp này, ta có \(sin x = \frac{1}{2}\). Ta biết rằng \(sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\). Vậy, ta có thể chọn \(\alpha = \frac{\pi}{6}\).

Do đó, các nghiệm tổng quát của phương trình \(sin x = \frac{1}{2}\) là:

Trường hợp 1: \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Trường hợp 2: \(x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm các nghiệm thuộc đoạn \([0;\frac{5π}{2}]\). Chúng ta sẽ xét từng trường hợp và từng giá trị của \(k\).

Xét trường hợp 1: \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\)

Chúng ta cần tìm \(k \in \mathbb{Z}\) sao cho \(0 \le \frac{\pi}{6} + k2\pi \le \frac{5\pi}{2}\)

Chia cả ba vế cho \(\pi\) (lưu ý \(\pi > 0\), nên chiều của bất đẳng thức không đổi):

\(0 \le \frac{1}{6} + 2k \le \frac{5}{2}\)

Trừ \(\frac{1}{6}\) cho cả ba vế:

\(-\frac{1}{6} \le 2k \le \frac{5}{2} – \frac{1}{6}\)

\(-\frac{1}{6} \le 2k \le \frac{15}{6} – \frac{1}{6}\)

\(-\frac{1}{6} \le 2k \le \frac{14}{6}\)

\(-\frac{1}{6} \le 2k \le \frac{7}{3}\)

Chia cả ba vế cho 2:

\(-\frac{1}{12} \le k \le \frac{7}{6}\)

Vì \(k\) là số nguyên, nên các giá trị có thể của \(k\) là \(k=0\) và \(k=1\).

Với \(k=0\), ta có \(x = \frac{\pi}{6} + 0 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{6}\). Giá trị này thuộc đoạn \([0;\frac{5π}{2}]\).

Với \(k=1\), ta có \(x = \frac{\pi}{6} + 1 \cdot 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}\). Giá trị này thuộc đoạn \([0;\frac{5π}{2}]\) vì \(\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}\) và \(\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}\), rõ ràng \(\frac{13\pi}{6} < \frac{5\pi}{2}\) (vì \(\frac{1}{6} < \frac{1}{2}\)).

Xét trường hợp 2: \(x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\)

Chúng ta cần tìm \(k \in \mathbb{Z}\) sao cho \(0 \le \frac{5\pi}{6} + k2\pi \le \frac{5\pi}{2}\)

Chia cả ba vế cho \(\pi\):

\(0 \le \frac{5}{6} + 2k \le \frac{5}{2}\)

Trừ \(\frac{5}{6}\) cho cả ba vế:

\(-\frac{5}{6} \le 2k \le \frac{5}{2} – \frac{5}{6}\)

\(-\frac{5}{6} \le 2k \le \frac{15}{6} – \frac{5}{6}\)

\(-\frac{5}{6} \le 2k \le \frac{10}{6}\)

\(-\frac{5}{6} \le 2k \le \frac{5}{3}\)

Chia cả ba vế cho 2:

\(-\frac{5}{12} \le k \le \frac{5}{6}\)

Vì \(k\) là số nguyên, nên giá trị có thể duy nhất của \(k\) là \(k=0\).

Với \(k=0\), ta có \(x = \frac{5\pi}{6} + 0 \cdot 2\pi = \frac{5\pi}{6}\). Giá trị này thuộc đoạn \([0;\frac{5π}{2}]\).

Tổng kết lại, các nghiệm của phương trình thuộc đoạn \([0;\frac{5π}{2}]\) là \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{13\pi}{6}\) và \(\frac{5\pi}{6}\).

Vậy, có 3 nghiệm thuộc đoạn \([0;\frac{5π}{2}]\) của phương trình đã cho.

b) Tìm số nghiệm của phương trình \(sin(2x+\frac{π}{3})=\frac{1}{2}\) trong khoảng \((0, 2π)\).

Tương tự như câu a, đầu tiên chúng ta sẽ giải phương trình để tìm nghiệm tổng quát.

Đặt \(u = 2x + \frac{\pi}{3}\). Phương trình trở thành \(sin u = \frac{1}{2}\).

Từ câu a, chúng ta đã biết nghiệm tổng quát của phương trình \(sin u = \frac{1}{2}\) là:

Trường hợp 1: \(u = \frac{\pi}{6} + k2\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Trường hợp 2: \(u = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Bây giờ, chúng ta thay \(u = 2x + \frac{\pi}{3}\) vào các nghiệm tổng quát này để tìm \(x\).

Xét trường hợp 1: \(2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + k2\pi\)

Chuyển \(\frac{\pi}{3}\) sang vế phải:

\(2x = \frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{3} + k2\pi\)

\(2x = \frac{\pi}{6} – \frac{2\pi}{6} + k2\pi\)

\(2x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(x = -\frac{\pi}{12} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Xét trường hợp 2: \(2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\)

Chuyển \(\frac{\pi}{3}\) sang vế phải:

\(2x = \frac{5\pi}{6} – \frac{\pi}{3} + k2\pi\)

\(2x = \frac{5\pi}{6} – \frac{2\pi}{6} + k2\pi\)

\(2x = \frac{3\pi}{6} + k2\pi\)

\(2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm các nghiệm \(x\) thuộc khoảng \((0, 2\pi)\).

Xét nghiệm từ trường hợp 1: \(x = -\frac{\pi}{12} + k\pi\)

Chúng ta cần tìm \(k \in \mathbb{Z}\) sao cho \(0 < -\frac{\pi}{12} + k\pi < 2\pi\)

Chia cả ba vế cho \(\pi\):

\(0 < -\frac{1}{12} + k < 2\)

Cộng \(\frac{1}{12}\) cho cả ba vế:

\(\frac{1}{12} < k < 2 + \frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{12} < k < \frac{24}{12} + \frac{1}{12}\)

\(\frac{1}{12} < k < \frac{25}{12}\)

Vì \(k\) là số nguyên, nên các giá trị có thể của \(k\) là \(k=1\) và \(k=2\).

Với \(k=1\), ta có \(x = -\frac{\pi}{12} + 1 \cdot \pi = -\frac{\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}\). Giá trị này thuộc khoảng \((0, 2\pi)\).

Với \(k=2\), ta có \(x = -\frac{\pi}{12} + 2 \cdot \pi = -\frac{\pi}{12} + \frac{24\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}\). Giá trị này thuộc khoảng \((0, 2\pi)\).

Xét nghiệm từ trường hợp 2: \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\)

Chúng ta cần tìm \(k \in \mathbb{Z}\) sao cho \(0 < \frac{\pi}{4} + k\pi < 2\pi\)

Chia cả ba vế cho \(\pi\):

\(0 < \frac{1}{4} + k < 2\)

Trừ \(\frac{1}{4}\) cho cả ba vế:

\(-\frac{1}{4} < k < 2 - \frac{1}{4}\)

\(-\frac{1}{4} < k < \frac{8}{4} - \frac{1}{4}\)

\(-\frac{1}{4} < k < \frac{7}{4}\)

Vì \(k\) là số nguyên, nên các giá trị có thể của \(k\) là \(k=0\) và \(k=1\).

Với \(k=0\), ta có \(x = \frac{\pi}{4} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{4}\). Giá trị này thuộc khoảng \((0, 2\pi)\).

Với \(k=1\), ta có \(x = \frac{\pi}{4} + 1 \cdot \pi = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}\). Giá trị này thuộc khoảng \((0, 2\pi)\).

Tổng kết lại, các nghiệm của phương trình thuộc khoảng \((0, 2\pi)\) là \(\frac{11\pi}{12}\), \(\frac{23\pi}{12}\), \(\frac{\pi}{4}\) và \(\frac{5\pi}{4}\).

Vậy, có 4 nghiệm của phương trình \(sin(2x+\frac{π}{3})=\frac{1}{2}\) trong khoảng \((0, 2π)\).

Hy vọng qua bài tập này, các em đã nắm vững hơn cách tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một khoảng xác định. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!