Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập về phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức. Bài tập hôm nay của chúng ta là phân tích đa thức \(x^2+6x+5\).

Các em hãy quan sát đa thức này. Chúng ta thấy có dạng \(x^2 + …\). Để áp dụng hằng đẳng thức, chúng ta cần cố gắng đưa nó về dạng của một bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

Chúng ta có hằng đẳng thức: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Trong đa thức \(x^2+6x+5\), ta có \(x^2\) là số hạng đầu tiên bình phương. Số hạng thứ hai là \(6x\). Chúng ta hãy thử xem \(6x\) có thể là số hạng \(2ab\) trong hằng đẳng thức không.

Nếu \(a = x\), thì \(2ab = 2xb\). Để \(2xb = 6x\), ta suy ra \(2b = 6\), hay \(b = 3\).

Vậy, nếu chúng ta coi \(a=x\) và \(b=3\), thì \(a^2 + 2ab = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 = x^2 + 6x\).

Đa thức của chúng ta có \(x^2 + 6x + 5\). Chúng ta thấy \(x^2 + 6x\) chính là phần đầu của hằng đẳng thức \((x+3)^2\).

Ta có: \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 3^2 = x^2 + 6x + 9\).

Bây giờ, chúng ta sẽ “biến đổi” đa thức đã cho để xuất hiện \(x^2 + 6x + 9\):

Bước 1: Tách số hạng \(6x\)

Chúng ta cần làm cho số hạng \(6x\) có dạng \(2ab\). Ta đã xác định \(a=x\) và \(b=3\).

Do đó, ta tách số hạng \(6x\) thành \(2 \cdot x \cdot 3\).

Bước 2: Bổ sung \(b^2\)

Vì \(b=3\), nên \(b^2 = 3^2 = 9\). Đa thức ban đầu chỉ có \(+5\), thiếu \(+9\).

Để xuất hiện \(+9\), ta sẽ tách số hạng \(5\) thành \(9 – 4\).

Khi đó, đa thức \(x^2+6x+5\) trở thành:

\[ x^2 + 6x + 5 = x^2 + 6x + 9 – 4 \]

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức

Bây giờ, ta nhóm ba số hạng đầu tiên lại:

\[ (x^2 + 6x + 9) – 4 \]

Ba số hạng trong ngoặc chính là dạng của \((a+b)^2\), với \(a=x\) và \(b=3\). Vậy ta có:

\[ (x+3)^2 – 4 \]

Bước 4: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Chúng ta thấy biểu thức hiện tại có dạng \(A^2 – B^2\), với \(A = (x+3)\) và \(B = 2\) (vì \(4 = 2^2\)).

Chúng ta có hằng đẳng thức: \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\).

Áp dụng vào bài toán:

\[ (x+3)^2 – 2^2 = ((x+3) – 2)((x+3) + 2) \]

Bước 5: Rút gọn biểu thức

Ta thực hiện phép tính trong các ngoặc:

\[ (x+3-2)(x+3+2) = (x+1)(x+5) \]

Vậy, ta đã phân tích đa thức \(x^2+6x+5\) thành nhân tử là \((x+1)(x+5)\).

Tóm lại các bước:

1. Xác định dạng của hằng đẳng thức có thể áp dụng.
2. Biến đổi đa thức ban đầu để xuất hiện các số hạng tương ứng với hằng đẳng thức.
3. Áp dụng hằng đẳng thức để nhóm các số hạng lại.
4. Nếu còn số hạng chưa phân tích được, tiếp tục áp dụng các hằng đẳng thức khác (như hiệu hai bình phương).
5. Rút gọn kết quả cuối cùng.

Các em hãy ghi nhớ cách làm này nhé. Nếu có bài nào khó, hãy mạnh dạn hỏi thầy.