Cô rất vui được hướng dẫn các em giải các bài toán rút gọn và tính giá trị của biểu thức này. Đây là những dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, giúp các em củng cố kiến thức về các hằng đẳng thức đáng nhớ và phép nhân đa thức.

Các em hãy cùng cô theo dõi từng bước giải chi tiết nhé!

— Bài 16: Rút gọn và tính giá trị của các biểu thức sau —

a) Biểu thức A: \( A = x(x+1) – (x+2)^2 \) tại \( x = 1 \).

Bước 1: Rút gọn biểu thức A.

Chúng ta sẽ thực hiện phép nhân và khai triển hằng đẳng thức:

\( A = x(x+1) – (x+2)^2 \)

\( A = (x \cdot x + x \cdot 1) – (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) \)

\( A = (x^2 + x) – (x^2 + 4x + 4) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ bỏ dấu ngoặc. Lưu ý rằng khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước, chúng ta phải đổi dấu tất cả các số hạng bên trong ngoặc:

\( A = x^2 + x – x^2 – 4x – 4 \)

Tiếp theo, chúng ta nhóm các số hạng đồng dạng và cộng trừ chúng:

\( A = (x^2 – x^2) + (x – 4x) – 4 \)

\( A = 0 – 3x – 4 \)

\( A = -3x – 4 \)

Vậy, biểu thức A sau khi rút gọn là \( A = -3x – 4 \).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức A tại \( x = 1 \).

Chúng ta thay \( x = 1 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\( A = -3(1) – 4 \)

\( A = -3 – 4 \)

\( A = -7 \)

Kết luận: Giá trị của biểu thức A tại \( x = 1 \) là \( -7 \).

b) Biểu thức B: \( B = (5x+2)(2x-7) – (2x+5)(2x-5) \) tại \( x = -3 \).

Bước 1: Rút gọn biểu thức B.

Chúng ta sẽ thực hiện phép nhân đa thức và khai triển hằng đẳng thức:

Phần 1: Khai triển \( (5x+2)(2x-7) \)

\( (5x+2)(2x-7) = 5x \cdot 2x + 5x \cdot (-7) + 2 \cdot 2x + 2 \cdot (-7) \)

\( = 10x^2 – 35x + 4x – 14 \)

\( = 10x^2 – 31x – 14 \)

Phần 2: Khai triển \( (2x+5)(2x-5) \). Đây là hằng đẳng thức “hiệu hai bình phương”: \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \)

\( (2x+5)(2x-5) = (2x)^2 – 5^2 \)

\( = 4x^2 – 25 \)

Bây giờ chúng ta thay các kết quả này vào biểu thức B và thực hiện phép trừ:

\( B = (10x^2 – 31x – 14) – (4x^2 – 25) \)

Bỏ dấu ngoặc (nhớ đổi dấu các số hạng trong ngoặc sau dấu trừ):

\( B = 10x^2 – 31x – 14 – 4x^2 + 25 \)

Nhóm các số hạng đồng dạng:

\( B = (10x^2 – 4x^2) – 31x + (-14 + 25) \)

\( B = 6x^2 – 31x + 11 \)

Vậy, biểu thức B sau khi rút gọn là \( B = 6x^2 – 31x + 11 \).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức B tại \( x = -3 \).

Chúng ta thay \( x = -3 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\( B = 6(-3)^2 – 31(-3) + 11 \)

\( B = 6(9) – (-93) + 11 \)

\( B = 54 + 93 + 11 \)

\( B = 147 + 11 \)

\( B = 158 \)

Kết luận: Giá trị của biểu thức B tại \( x = -3 \) là \( 158 \).

c) Biểu thức C: \( C = (x-2)^2 – (x-3)(x+3) \) tại \( x = 2 \).

Bước 1: Rút gọn biểu thức C.

Chúng ta sẽ khai triển các hằng đẳng thức:

Phần 1: Khai triển \( (x-2)^2 \). Đây là hằng đẳng thức “bình phương của một hiệu”: \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)

\( (x-2)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 \)

\( = x^2 – 4x + 4 \)

Phần 2: Khai triển \( (x-3)(x+3) \). Đây là hằng đẳng thức “hiệu hai bình phương”: \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \)

\( (x-3)(x+3) = x^2 – 3^2 \)

\( = x^2 – 9 \)

Bây giờ chúng ta thay các kết quả này vào biểu thức C và thực hiện phép trừ:

\( C = (x^2 – 4x + 4) – (x^2 – 9) \)

Bỏ dấu ngoặc (nhớ đổi dấu các số hạng trong ngoặc sau dấu trừ):

\( C = x^2 – 4x + 4 – x^2 + 9 \)

Nhóm các số hạng đồng dạng:

\( C = (x^2 – x^2) – 4x + (4 + 9) \)

\( C = 0 – 4x + 13 \)

\( C = -4x + 13 \)

Vậy, biểu thức C sau khi rút gọn là \( C = -4x + 13 \).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức C tại \( x = 2 \).

Chúng ta thay \( x = 2 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\( C = -4(2) + 13 \)

\( C = -8 + 13 \)

\( C = 5 \)

Kết luận: Giá trị của biểu thức C tại \( x = 2 \) là \( 5 \).

d) Biểu thức D: \( D = (2x-3)^3 + (4x+1)(16x^2 – 4x + 1) \) tại \( x = -2 \).

Bước 1: Rút gọn biểu thức D.

Chúng ta sẽ khai triển các hằng đẳng thức:

Phần 1: Khai triển \( (2x-3)^3 \). Đây là hằng đẳng thức “lập phương của một hiệu”: \( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

Với \( a = 2x \) và \( b = 3 \):

\( (2x-3)^3 = (2x)^3 – 3(2x)^2(3) + 3(2x)(3)^2 – 3^3 \)

\( = 8x^3 – 3(4x^2)(3) + 3(2x)(9) – 27 \)

\( = 8x^3 – 36x^2 + 54x – 27 \)

Phần 2: Khai triển \( (4x+1)(16x^2 – 4x + 1) \). Đây là hằng đẳng thức “tổng hai lập phương”: \( (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 \)

Chúng ta thấy \( 16x^2 = (4x)^2 \) và \( 4x = (4x) \cdot 1 \) và \( 1 = 1^2 \). Vậy, với \( a = 4x \) và \( b = 1 \):

\( (4x+1)((4x)^2 – (4x)(1) + 1^2) = (4x)^3 + 1^3 \)

\( = 64x^3 + 1 \)

Bây giờ chúng ta cộng hai phần này lại để được biểu thức D:

\( D = (8x^3 – 36x^2 + 54x – 27) + (64x^3 + 1) \)

Nhóm các số hạng đồng dạng:

\( D = (8x^3 + 64x^3) – 36x^2 + 54x + (-27 + 1) \)

\( D = 72x^3 – 36x^2 + 54x – 26 \)

Vậy, biểu thức D sau khi rút gọn là \( D = 72x^3 – 36x^2 + 54x – 26 \).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức D tại \( x = -2 \).

Chúng ta thay \( x = -2 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\( D = 72(-2)^3 – 36(-2)^2 + 54(-2) – 26 \)

\( D = 72(-8) – 36(4) + (-108) – 26 \)

\( D = -576 – 144 – 108 – 26 \)

\( D = -720 – 108 – 26 \)

\( D = -828 – 26 \)

\( D = -854 \)

Kết luận: Giá trị của biểu thức D tại \( x = -2 \) là \( -854 \).

e) Biểu thức E: \( E = (3x+y)^3 – (x+2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) \) tại \( x = 1, y = 2 \).

Bước 1: Rút gọn biểu thức E.

Chúng ta sẽ khai triển các hằng đẳng thức:

Phần 1: Khai triển \( (3x+y)^3 \). Đây là hằng đẳng thức “lập phương của một tổng”: \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

Với \( a = 3x \) và \( b = y \):

\( (3x+y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2(y) + 3(3x)(y)^2 + y^3 \)

\( = 27x^3 + 3(9x^2)y + 9xy^2 + y^3 \)

\( = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3 \)

Phần 2: Khai triển \( (x+2y)(x^2 – 2xy + 4y^2) \). Đây là hằng đẳng thức “tổng hai lập phương”: \( (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 \)

Chúng ta thấy \( 4y^2 = (2y)^2 \). Vậy, với \( a = x \) và \( b = 2y \):

\( (x+2y)(x^2 – x(2y) + (2y)^2) = x^3 + (2y)^3 \)

\( = x^3 + 8y^3 \)

Bây giờ chúng ta thay các kết quả này vào biểu thức E và thực hiện phép trừ:

\( E = (27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3) – (x^3 + 8y^3) \)

Bỏ dấu ngoặc (nhớ đổi dấu các số hạng trong ngoặc sau dấu trừ):

\( E = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3 – x^3 – 8y^3 \)

Nhóm các số hạng đồng dạng:

\( E = (27x^3 – x^3) + 27x^2y + 9xy^2 + (y^3 – 8y^3) \)

\( E = 26x^3 + 27x^2y + 9xy^2 – 7y^3 \)

Vậy, biểu thức E sau khi rút gọn là \( E = 26x^3 + 27x^2y + 9xy^2 – 7y^3 \).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức E tại \( x = 1, y = 2 \).

Chúng ta thay \( x = 1 \) và \( y = 2 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\( E = 26(1)^3 + 27(1)^2(2) + 9(1)(2)^2 – 7(2)^3 \)

\( E = 26(1) + 27(1)(2) + 9(1)(4) – 7(8) \)

\( E = 26 + 54 + 36 – 56 \)

\( E = 80 + 36 – 56 \)

\( E = 116 – 56 \)

\( E = 60 \)

Kết luận: Giá trị của biểu thức E tại \( x = 1, y = 2 \) là \( 60 \).

Cô hy vọng với phần trình bày chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách làm từng bước. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững các hằng đẳng thức và các phép toán với đa thức nhé! Chúc các em học tốt!