Tìm 2 chữ số tận cùng của số \(7^{1991}\).

Để tìm 2 chữ số tận cùng của một số, thực chất là chúng ta đi tìm số dư của số đó khi chia cho 100. Tức là, chúng ta cần tìm \(7^{1991} \pmod{100}\).

Các em hãy cùng theo dõi từng bước giải nhé:

Bước 1: Tìm quy luật chữ số tận cùng của \(7^n\)

Chúng ta sẽ tính một vài lũy thừa đầu tiên của 7 để xem chữ số tận cùng có quy luật gì không:

* \(7^1 = 7\)
* \(7^2 = 49\)
* \(7^3 = 343\)
* \(7^4 = 2401\)
* \(7^5 = 16807\)

Các em có thể thấy, chữ số tận cùng của \(7^n\) lặp lại theo chu kỳ 4: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1,…

Bước 2: Tìm quy luật 2 chữ số tận cùng của \(7^n\)

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét 2 chữ số tận cùng, tức là tính \(7^n \pmod{100}\).

* \(7^1 \equiv 7 \pmod{100}\)
* \(7^2 \equiv 49 \pmod{100}\)
* \(7^3 \equiv 343 \equiv 43 \pmod{100}\)
* \(7^4 \equiv 7 \times 43 = 301 \equiv 1 \pmod{100}\)
* \(7^5 \equiv 7 \times 1 = 7 \pmod{100}\)
* \(7^6 \equiv 7 \times 7 = 49 \pmod{100}\)
* \(7^7 \equiv 7 \times 49 = 343 \equiv 43 \pmod{100}\)
* \(7^8 \equiv 7 \times 43 = 301 \equiv 1 \pmod{100}\)

Chúng ta nhận thấy rằng, 2 chữ số tận cùng của \(7^n\) lặp lại theo chu kỳ 4: 07, 49, 43, 01.

Bước 3: Áp dụng quy luật cho \(7^{1991}\)

Để xác định \(7^{1991}\) rơi vào trường hợp nào trong chu kỳ 4, chúng ta cần xem xét số mũ 1991 chia cho 4 dư bao nhiêu.

Ta thực hiện phép chia:
\(1991 \div 4\)

\(1991 = 4 \times 497 + 3\)

Vậy, số mũ 1991 chia cho 4 dư 3.

Bước 4: Kết luận

Vì 1991 chia cho 4 dư 3, nên \(7^{1991}\) sẽ có 2 chữ số tận cùng giống như trường hợp \(7^3\) trong chu kỳ.

Mà \(7^3 \equiv 43 \pmod{100}\).

Do đó, 2 chữ số tận cùng của \(7^{1991}\) là 43.

Đáp số: 43

Các em thấy không, chỉ cần tìm ra quy luật và áp dụng đúng, chúng ta có thể giải quyết được những bài toán tưởng chừng như phức tạp này. Hãy ghi nhớ cách làm này để áp dụng cho các bài tập tương tự nhé!